高中数学强基计划最新真题分类专题3：立体几何

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类3：立体几何专题 （说明：本资料根据学生记忆或网上资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1.设 P 为单位立方体 ABCD﹣A1B1C1D1 上的一点，则 PA1+PC1 的最小值为（ ） A． B． C．2﹣ D．前三个答案都不对 【导引】直线结合三角形的两边之和大于第三边即可求解． 【解答】因为 PA1+PC1≥=，当且仅当 P 在线段 A1C1 上时等号成立， 所以 PA1+PC1 的最小值为， 故选：D． （2020 年北京大学） 2. 有边长为1的正，在边上，在边上，，沿折起，求四棱锥体积的最大值． 解析：由导引可知，当DE在某一个位置的时候，折起使得△ADE⊥四边形DECB时，体积最大。令DE中点为M，并假设AM=x, 所以只需求-的最大值。 由不等式，可求出最大值为x=0.5时，此时最大值为 因此四棱锥体积的最大值为 （2021年中国科技大学） 3. 两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ B ） A. B. C. D. 解析：包含两个实心球体的最小实心球的半径为,则, 所以== （2020年武汉大学） 4. 已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为，侧棱与底面夹角为，则（ ）． A． B． C． D． 参考答案：D （2020年清华大学） 5. 中，，，，设为中点，现将沿折起，使得四面体的体积为，则折起后的长度可能为（ ） A．1 B． C． D．2 答案：BC 解析： 如图题解4△BCM沿CM折起形成了一个三棱锥，设A、B在CM上的摄影分别为P、Q，再设A到面BCM的距离为h，则由体积=可得,即h=,则等边△AMC的斜高AP与底面所成角的余弦值为：.所以与夹角的余弦值 为或 - -，所以选BC. （2020年清华大学） 6. 若四面体的各个顶点到平面的距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为__7____． 解：将所考虑的四面体记作ABCD. (1)若四个顶点均在平面a的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面a平行的平面内，不符合条件； (2)平面a的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点. 不妨设点A，B，C在平面α的一侧，点D在另一侧， 则A，B，C三点所确定的平面必平行与Q， 由点D作平面ABC的垂线DD1，D1为垂足. 则中位面Q必为经过DD1的中点且与DD1垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面ABC.这种类型的中位面共有4个. (3) 平面a的两侧各有两个顶点，不妨设点A，B在平面a的一侧，点C，D在另一侧，显然，AB平行于a，CD平行于a， AB与CD为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）. 由于四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组，于是这种类型的中位面共有3个. （2020年上海交通大学） 7. 在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_174_对． 解:找正方体中有多少个四面体,只要不四点共面的四个点就可以组成四面体,是八个点中无顺序的取四个,共70种,再减去四点共面的12种,有58个.一个四面体中有三对异面直线,所以共174对. （2020年上海交通大学） 8. 若空间三条直线，，两两异面，则与三条直线都相交的直线有__无数___条． 解:如图 （2020年上海交通大学） 9. 用平面截一个单位正方体，若截面是六边形则此六边形周长的最小值为___3√2____． （2020年上海交通大学） 2 学科网（北京）股份有限公司 $