高中数学强基计划最新真题分类专题2：三角函数

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类2：三角函数专题 （说明：本资料根据学生记忆或其他资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1. 在△ABC 中，∠A＝150°，D1，D2，……，D2020 依次为边 BC 上的点，且 BD1 ＝ D1D2 ＝ D2D3 ＝… ＝ D2019D2020 ＝ D2020C ， ∠ BAD1 ＝ α1 ， ∠ D1AD2 ＝α2 ， …… ， ∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC＝α2021， 则 的值为（ ）B． A． C． D．前三个答案都不对 【导引】作出图形，利用正弦定理化简求解即可． 【解答】解：注意到, 在中， , 在中，， 所以， 同理可得： ，…, , 又, 所以, 所以 =. 故选D. （2020 年北京大学） 2. 函数+的最大值为 （ ） A． + B．2 + C． +2 D．前三个答案都不对 【导引】令 x＝cosθ∈[﹣1，1]，则原题可转化为求函数的最大值，利用导数直接求解即可． 【解答】原式即为, 令x=,则转化为求函数的最大值， 因为,令 ,解得且, 由导数得知识易知，当x=时，函数取最大值为，故选D. （2020 年北京大学） 3. 求值：=（ ）． A． B． C． D． 参考答案：B （2020年清华大学） 4. 求函数的取值范围． 解：令 从而 从而 这说明 从而有 （2021年中国科技大学（广东）） 5. 已知，若 ，则在，，，中能确定的参数是_________． 由，令x=0，得，在解析式中令x=，得d-b=0，即d=b，在解析式中，由，令，待，即d=0，所以d=b=0。此时，又由得，, 即，，便使得恒成立，所以，即a=c=0，综上均为0，即其中中能确定的参数为a，b，c，d。 （2020年复旦大学） 6. 设，，若则 _______． 由⇒ 构造函数，设，显然f（x）是奇函数 ，则cos（x+2y）=1 （2020年复旦大学） 7. ________． （2020年复旦大学） 19. 已知，求的取值范围． 解：设t=2sinx-cosx=- 又 （2020年中国科技大学创新班） 8. 设的内角的对边分别为.若，则（ AC ） A. B. C. 的面积最大值为 D. 的周长最大值为 解析：由=0 , 化简得：=0 因为所以-1=0 ,故A正确. 又由ac当且仅当a=c=时取等号， 三角形的周长 由余弦定理得ac=,因为 （当且仅当a=c=时取等号.） 所以,,排除D. （2020年武汉大学） 9. 设正整数使得关于 方程在区间内恰有个实根，则（ ABC ） A. B. C. D. ，，成等差数列 解析：如图所示， 函数与函数恰有5 个交点，³ A， 根据对称性可知,正确； B， 考虑到区间内，两函数在时相切，所以,而，所以,正确； C， 两函数在时相切，所以,所以,正确； D， 若成等差数列，则因为关于原点对称，所以必有,即, 则,则,不符合题意，错误。 （2020年武汉大学） 10. 设函数，则下列错误的是（ ） A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数 C. 的图像有对称轴 D. 的图像有对称中心 参考答案：A 解析：A:考虑。 故,当且仅当 B：因为， 所以是以为周期的周期函数。 C：因为， 所以. . 所以=的一条对称轴，故C正确。 D：因为，所以,, 所以+=0，所以 （2020年武汉大学） 11. 已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）． A．2 B． C．3 D．4 参考答案：A （2020年清华大学） 12. 使得成立的最小正整数等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B （2020年清华大学） 13. 设，为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 参考答案：A （2020年清华大学） 14. 已知中，，求最大值． （2021年上海交通大学） 15. 已知方程，则下列判断： （1） 方程没有正数解； （2） 方程有数多个解； （3） 方程有一个正数解； （4） 方程的实根小于1． 其中错误的判断有_____（1）_________． 答：转化为f（x）=2的x次方和f（x）=sinx+1的交点问题。 画图像可看出两者在（0,1）上有唯一交点。 （2020年上海交通大学） 16. 函数，的最小值是