专题4 三角函数&专题5 解三角形-【满分思维】2026年高考数学真题分类

所以a·p=足 P3 由(i)知，x3>e2, 所以p3>2. 令F0)='>2. e2 2e2-2.e e2- 则F(t) e 专题四」 考点1同角三角函数的基本关系、诱导公式与三角恒等 变换 1.D二倍角公式+两角差的正弦公式 a 5 c0s25 ;【思维导图】二倍角公式os& sin'acos a=1 sin a 0<a<π !两角差的正孩公式得解。 1---------- 由w号号得8=号-1=一号（送健：二修角公式. <sin a.sin a0 7√2 2受 空（答案不唯一）三角恒等变换因为 sina+3)=sina一3)， osa十3)≠c0s(a一B), (sin acos Bcos asin B=sin acos B-cos asin B, 即 (方法：利用两角和与差 （cos acos B-sin asin B≠Os aCOs B-+sin asin3 的正弦，余孩公式展开)，所以/60sas3=0, 即有cosa=0,sin3≠ sin asin B≠0， 0.因为a,8∈[0,2r],所以a=至或，9c(0,xU(,2x)(题 眼).所以满足条件的一组a9的值可以是。=受，=受 考点2三角函数的图象与性质 1.B正切型西数图象的对称中心令x一吾-经，∈乙得x 管+吾，kEZ(提示：正切函基y=m上图象的对称中心为 (经，0)，k∈z）,故y=2an(x-零)图象的对称中心为 (凭+号0），k∈Z.由题意知a经+吾>0k∈乙.所以a的 最小值为故选B. ·数学 令F'(t)=0,得t=4(易错：忘记t>2), 所以1=4时，F)取最大值，F)x1S 又16-4=44e-4-2）-二4e-2八<0， ee-1e2(e-1)-e2(e-1) 所以a·p<马 故一pA<。兰得证 角函数 2.C三角函数的图象与性质因为f(x)三sinx十cos 厄sn(ar+)(题眼)，所以当x∈[0，]时，ar+∈ [至子。+引，因为f)在[0，]上存在学点，所以行o十 于≥元[提示：函数y=simx的零点为x=kxk∈D],解得≥ 3①.又由f(x十π)=f(x)恒成立，设f(x)的最小正周期为 T,得nT=π(n∈N)恒成立（关键：根据函数值相等得到函数最 小正周期T与元之间的关系)，即n.2红=x(nCN),解得u= ω 2m(n∈N*)②.由①②可知当n=2时，w取得最小值，所以 ω的最小值为4.故选C. 3.A三角函数的图象与性质由f(x)在 「_5π，元上单调递 -122 5 增，且x=是其图象的一条对称轴，得 20+9≥-2， 又 12w+9=2: w>0,解得0<m≤2.因为（行，0）为f(x)图象的一个对称中 心，所以受十p=xk∈.结合登0十9=受，得w=-2 (k∈ZD,所以w=2,9=牙.所以fx)=sin(2x+).当x∈ o,]时.2x+吾e[后]，所以当xeo,]时， C》=(受)=血与=-号放选 4.[0,1】余弦函数的图象与性质f(x)=6osx在[-艺0)上 单调递增，在0，]上单调递减（题眼），则fx)=f(0) 1,f(x)m=mim/(-乏)f(于)}=0（提示：计算闭区间的 2个端点值，再比较得小值)，因此f)在x[一受·]上 的值域为[0,1]. 答6· H真题互鉴 2024·北京卷·12题，本题与2024年北京卷第12题对比，从 内容上，均考查余弦函数在闭区间上的最值问题；从解题方法 看，均通过分析函数的单调性来解决问题；从题干看，对其条件 进行删减，并对数据进行替换.本题体现了注重基础知识、基本 技能、基本方法的命题趋势 5.三角恒等变换+余弦型函数的性质 100<π 【思维导图】(1)f(0)= 2 :2)代入9值得f)=c0s(2x十哥）箱动角公支g) g(x)的值域和单调区间. 解：1)因为f(0)=c0s9=2,且0区p<π（提示：注意p的范 围限制，确保解唯一)， 所以9=3 元 (2)由(1)得f(x)=os(2x+5), 专题五解 考点正弦定理、余弦定理 1.A余弦定理的推论+特殊角的三角函数值根据余弦定理的 推论得cosA=AC+AB2-BC 2·AC·AB ，将题中数值代入可得 A==要因为AE0.,且 2×(1+√3)X(W6) c0s4=2 ，所以A=不=46，故选A 4 2.ABC三角恒等变换+三角形面积公式 【思维导图】cos2A+cos2B+2sinC=2,cos Acos Bsin C= 4 !三角恒等变换求出角C,sin2A的 SA石求出AB 1 辅助角公式，判断各选项。】 1------ 对于A,由cos2A+cos2B+2sinC=2,得1-2sinA+1 2sin2B+2sinC=2,即sinC=sinA十sinB,故A正确.对于B, 由cos Acos Bsin C=二>0知cosA>0,cosB>0,故A,B为 4 锐角.由A可知sinA十sinB=sin Acos B十cos Asin B,即 sinA(sinA一cosB)+sinB(sinB一cosA)=0(￥)，若A+ 一B, A721 B>2, ∴.sinA>cosB,sinB>cosA.则() B>-A, ·数学 答 所以g)-fr)+f(-）=aos(2x+F）+cos2(x-8）+ 】-m(2:+号）+ms2x=子2- sin 2x 5a(2x十晋）（随眼）[方法：化简时可用辅助角公式：as十 bsin=Va+Fcos(x-g.共中an9=合(a>0)]】 所以g(x)的值域为[-3，W3]. 令2kx-≤2x十百<2kr,k∈Z。 解得x一登<：<x一危∈乙 故)的单润递端区间为[kx-受一引（∈D, 令2k≤2x十晋≤2kx十xk∈Z, 解得x一r<k云+沿k∈Z. 故gr)的单调递减区间为[kx一是x+哥】∈D。 ,5π] 三角形 式不成立.同理，若A十B<受，()式仍不成立，因此A十B一 F透聚，则co Aoos Bsin C co As m2A=支SAm=合·AC=合ABsin BsinA 宁AB O A·smA=令A=子解得AB=.放B正确， 对于C.由B的判新过程知A-意或受mA十snB=smA十 0osA=反sn(A+妥)-，放C正确对于D由B分析得 C=受，则AC+BC=AB=2,故D错误综上，故选AC 3.正弦定理+余弦定理+三角恒等变换+同角三角函数的基本 关系 解：(1)由asin B=3 bcos A,得sin Asin B=√3 sin Bcos A. 因为B∈(0，π)，所以sinB>0. 所以tanA=√3， 又A∈(0，π)， 所以A=子 (2)由已知得c=1+2b, 则a2=0+c2-2c0s音=+1+2bY-61+2b)=36+ 36大1一7（题眼）， 7· 即b2+b一2=0， 所以(b+2)(b-1)=0. 因为b>0,所以b=1. 所以c=1+2b=3. (3)由正弦定理，得sinB=么sinA= a 方i血3-27=14 因为b<a,所以B<A. 所以B∈(0，于). 所以cosB=5v7 14 则sin2B=2 sin Beos B=2X21×57=53 ×14=14 028=1-2mB=1-2x(图）-是 所以sin(A+2B=sin Acos2B+cos Asin2B=号X7+，X 5w3_4w3 147 4.同角三角函数的基本关系+正弦定理+余弦定理+三角形的面 积公式 【思维导图】(I)已知条件 同角三角函数的基本关系 sin A= 22 正弦定理 c=6. !3 asin C=4√2 !(Ⅱ)选②，已知条件正孩定理 余弦定理 b >a→sinB→BCi !边上的高为202 9· 三角形的面积公式 余弦定 1选③，已知条件 →a→BC边上1 !的高为202 91 专题六平面向 考点1平面向量的概念与运算 1.A向量的加法运算+向量的模如图，由题意得真风风速对应 的向量三视风风速对应的向量一船行风风速对应的向量三视风 风速对应的向量十船速对应的向量=A5(题眼)，显然|AB|= 2√2∈(1.6,3.3)，故该时刻的真风为轻风.故选A. 视风凤速 B 船速 42 3 ·数学 解：(I)在△ABC中，因为cosA=-子 所以smA=2二（方法：同角三角函教的基本关系）. 3 sin C-sin asin C-4, 由正弦定理C 得c=asin C =42X3 =6. sin A 2√2 (Ⅱ)选择条件@：asin B=10,2 3 在人A以中，由正弦定理品BA得6 sin A=5. 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 得a2=52+6-2×5×6×(-3）=81. 所以a=9. 从而sinB=10(题眼). 27 BC边上的高为csin B=6X10,2_20,2 27 9 选择条件③：△ABC的面积为102， 因为2a6sinC=102(提示：三角移的西积公式)， 所以6=202_202 =5. asin C 42 由余弦定理a2=b2十c2一2 bc cos A,得 a2=52+62-2×5×6× (-3)=81. 所以a=9(题眼). 所以BC边上的高为2S4=202 a 9 量及其应用、复数 2.D平面向量的坐标运算+向量的模：OA1=OB|=√2， A1=2,1AB12=OA12+1OB12..OA⊥O店.设A(xy), 则x2+y2=2,B(y,-x)或B(-y,x).当B(y,-x)时，2CA十 AB=(x+y-6,-x+y-8)..|2CA+A店|= V√(x+y-6)2+(-x+y-8)2=√/2x2+2y2+4x-28y十100= √2×√x2+y2+2x-14y十50=2x十1)2+(y-7)2(题 眼)，其表示圆O:x2十y2=2上动点A到定点D(一1,7)的距离 的2倍，易知OD=5√2，故12CA+AB|的取值范围是[8,12]. 当B(-y,x)时，同理可得|2CA+AB|的取值范围是[8,12].综 上，故选D 答8·专题四三角函数 昆考点1同角三角函数的基本关系、诱导公式与三角恒等变换 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2025金国I老)E知0a<os号-号则sm。-} A号 √2 B. c将 72 D.10 二、填空题 2.(2025·北京卷)已知a,3∈[0,2π]，且sin(a+3)=sin(a一3)，cos(a+3)≠cos(a一3)，写出满足条件的 组a,3的值a=,B= 考点2三角函数的图象与性质 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.(2025·全国I卷)已知点a,0)a>0)是函数y=21an一)的图象的-个对称中心，则a的最小值为 () A B等 c n 2.(2025·北京卷)设函数fx)=-sin十o(w>0),若fx十x)=f(x)恒成立，且f)在[0，引上 存在零点，则ω的最小值为 () A.8 B.6 C.4 D.3 3(2025·天球卷/a)=m(ar-p)w>0,-<x)在[-登，引上单调递增，且x=是为rx)图 象的一条对称轴（后0是fx)图象的一个对称中心，当x∈0，哥引时fx)的最小值为 () A.- 2 B.一2 C.1 D.0 。7· 二、填空题 4(2025·上海卷)函数y=60sr在至， 上的值域为 三、解答题 5.(2025·金国Ⅱ卷)已知函数f(x)=60s(2x+9)(0≤p<m),10)=2 (1)求9. (2)设函数g()=fx)+fe一），求g(x)的值域和单调区间。 ·8· 专题五解三角形 易考点 正弦定理、余弦定理 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2,AC=1十√3，AB=√6，则A= A.45° B.60° C.120° D.135 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 2.(2025·全国I卷)已知△ABC的面积为4，cos2A十cos2B+2sinC=2,cosA·cosB·sinC= ,则 A.sin C=sin2A+sin2B B.AB=√2 6 C.sin A+sin B-2 D.AC2+BC2=3 三、解答题 3.(2025·天津卷)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A,c-2b=1, a=√7！ (1)求A的值， (2)求c的值. (3)求sin(A+2B)的值. 4,【结构不良2025，北京卷)在△ABC中，cosA=号asmC-42. (1)求c的值. (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高， 条件①：a=6; 条件②：asin B=10v2 39 条件③：△ABC的面积为10√2. 。9·