高中数学强基计划最新真题分类专题1：集合与函数（包括三角函数）

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类：函数专题 （说明：本资料根据学生记忆或其他资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1. 设函数 f（x，y，z）＝++，其中 x，y，z 均为正实数，则有（ ） A．f（x，y，z）既有最大值也有最小值 B．f（x，y，z）有最大值但无最小值 C．f（x，y，z）有最小值但无最大值D．前三个答案都不对 【导引】先由糖水不等式得到 f（x，y，z）＜2，再通过放缩证明 f（x，y，z）＞1，把 x 当作主元，令,得函数 g（x）的值域为（1，2），故 f（x，y，z）既无最大值也无最小值． 解：注意到x,y,z>0,一方面由糖水不等式可得 , 且 另一方面，把 x 当作主元，令, 当 时， ，明显当(z=0)时，满足 g（x）→2， 当时， ，明显当(y=0)时，满足 g（x）→1， 故 f（x，y，z） 既无最大值也无最小值． 故选：D． （2020 年北京大学） 2. 已知周期为1，则命题：“”是命题：“恒为1”的什么条件？ 解： 0,x∈{a+2k*|a,k∈Z} 构造函数 2,x∈{a+（2k+1）*|a,k∈Z} 1，其他 则充分性不成立，必要性成立 所以为必要不充分条件 （2021年复旦大学） 3. 若，，解不等式． 解：由题意得g(x) = (x + [x] + 2 – [x+[x]]+2) = (x+[x]-[ x+[x]])+1 （1）若x⩽0，则g(x) = (x + [x])+ 1， （i）当−1⩽ g(x)⩽0 时，0 < g(x) = （x-1）+ 1 < 1，则x ∈（−2,2），即x ∈（−2,-1）； （ii）当−2⩽g(x)< -1时，0 < g(x) = （x-2）+ 1 < 1则x ∈（−3,1），即x ∈ [−1,0 ) ； （iii）当x<-2时, g(x) < （-2-2）+ 1 =0，原不等式无解； （iV）当x = 0 时，g(x) = 1，原不等式无解； （2）若x> 0，则g(x) = （x++[x]-[2x]）+ 1 ， 设x = k + a，其中k ∈ N，a ∈[ 0,1) ， 则g(x) = （k+a+k-[2k+2a]）+ 1= (a-[2a])+1 ， （i）当 ⩽ a < 1 时，0 <g(x)= (a-1)+1< 1，则a ∈(−3,1) ，即a ∈ [, 1) ； （ii）当 0⩽ a < 时，0 < g(x)= a-+1 < 1，则a ∈ (−4,0 )，此时原不等式无解； 综上所述，不等式 0 < g(x) < 1 的解集为 (−2,0) ∪ [k+ ，k+1 ) (k∈N) 因此，不等式 0 < g(f(x)) < 1 的解集满足∈(−2,0) ∪ [k+ ，k+1 ) (k∈N) 解得x∈（，1）∪[)(k∈N) （2021年复旦大学） 4. 求________． 解：注意到 而我们易得 ， 所以 （2021年中国科技大学（广东）） 5. 写出一个函数________，使得 对于任意的恒成立． 解：用表示两次迭代即，则令有 . 令，有 再令有 这说明任意的都能用的形式表示，所以有 代回原式得到，故 （2021年中国科技大学（广东）） 6. 已知正实数，二次函数，若任意长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1，则的最小值为____4____． 解析：设区间为[x1,x2],其中x2-x1=1，记f(x)=ax2-x+1， 由对称性，只考虑x2+x1≥情况，可得x2≥， ①若x1≥，只需f(x2)-f(x1)=a(1+2x1)-1≥1，可得a≥1 ②若x1≤，只需f(x2)-f()=a(x2-)2-1≥1，可得a≥4 所以amin=4 （2021年中国科技大学） 7. 若，则的图象大致为_______． 参考答案： （2020年复旦大学） 8. 定义令，已知 ，，则______． （2020年复旦大学） 9. 设函数的反函数为，则在上的最大值和最小值的和为_2____． （2020年复旦大学） 10. Given two sets and , then the intersection set of A and B is （ B ）． A． B． C． D. （2020年复旦大学） 11. 若，且，，，，，为三角形的三边，则的取值范围是___（-）____________． 12. 已知，求所有，使得对，恒成立． 解：1、当x=0时，a∈R； 2、当x≠0，此时|