第10讲 解三角形 讲义-2022届高三数学二轮复习专题

第10讲 三角形中的综合问题 1、 学习目标： 1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用； 2. 掌握化边与化角两种处理三角形问题的策略； 3. 进一步提高三角函数的综合应用能力. 2、 典例分析 例1．（1）在中，角所对的边分别为，已知， ，，则_______，_______. 【答案】 （2） 在中，，，点D在线段AC上，满足，且， 则______，_______. 【答案】（1），；（2），. 变式： 1.设△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 2．如图，在中，已知，D为边上的一点，且满足，则________，_________． 【答案】 ，. 3．如图，在中，，，，为内一点，且，设，若，则______；若，则______. 【答案】，. 例2.（1）已知分别为的内角所对的边，其面积满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. （2）在中，，，则的最大值是________. 【答案】（1）C； （2）. 变式： 1.在锐角中，角，，的对应边分别为，，，已知，则角的取值范围是_________，则的取值范围是_____________. 2.在等腰三角形中，，是腰的中线，且，则的最大值为_________. 【答案】（1），； （2）2. 例3．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． 变式： 1．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，且. 例4．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 变式： 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）由条件知，  由余弦定理， 代入得，    则，由正弦定理得， 所以，得 ， 由知，故，所以或（舍去）， 所以.  （2）. 3、 课外作业 1．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（        ） A．3 B． C．3或 D．-3或 【答案】A. 2.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 3．在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A. 4.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人将（ ） A.不能做出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 【答案】D. 5．如图，在△中，是边上的点，且，，， 则的值为（ ） A. B． C． D． 【答案】D. 6.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 【答案】D. 7．如图，在△ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，，则BD=___________，△ABC的面积等于___________. 【答案】  ，. 9.设的三个内角的对边分别为，面积为，且满足，，则的最大值为________. 【答案】8. 10.在中，角的对边分别为，且，若的面积，则的最小值为_______. 【答案】48. 11.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为______________. 【答案】. 12.设的内角，，所对的边分别为，，，若 则的值是________，的最大值是________. 【答案】4，. 13.的内角，，所对的边分别为，，，已知 （1）求； （2）若为锐角三角形 ，且，求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 14.已知的内角分别为，，，其对应边分别是，，，且满足 ．（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的最大值． 【答案】（1）； （2）. 15． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点， ∠BPC＝90°. (1