第9讲 三角形里的故事 讲义 2022年中考数学复习解题技巧

第9讲 三角形里的故事 知识架构 1. 已知在 中, . (1) 若 , 则 . (2) 当 时, 是直角三角形; (3) 当 时, 是等腰三角形. 2. 已知在 中, . (1) 边的长的取值范围为 . (2) 若 是等腰三角形, 则 的周长为 . (3) 若 是直角三角形, 则 边的长为 . (4) 若 , 则 的面积为 ; 归纳 已知三角形两边和夹角, 则三角形的面积可以表示为 . (5) 面积的最大值为 . 归纳 已知三角形两边, 则三角形面积的最大值是 . 变式: 如图, 已知 是半径为 1 的 上一点, 延长 到点 , 使 . 以 为对 角线作 , 若 , 则 面积的最大值为 . (6) 如图, 若 是 的中线, 则 的取值范围为 . (7) 如图,已知 是 的角平分线, . (1) 若 , 则 ；(2) 若 , 则 的长为 . 归纳 角平分线的性质定理： . (8) 若 是 的高, 且 , 求 的长. 3. (1) 如图 (1), 在 中, 分别是 边的中点, 相交于点 , 且 . 若 , 则 的长为 . (2) 如图 (2), 三边的中线 交于点 , 若 , 则图中阴影部分的面积是 . 拓展 在 中, 分别是 边的中点, , 则 面积的 最值为 . 延伯 如图,在 中, 两点分别在 边上,它们交于点 . 有以下结论： (1) 若 分别为 的两条中线, 则 ; (2) 若 分别为 的两条中线, 且 , 则 (3) 若 为 的中线, , 且 , 则 ; (4) 若 分别为 的两条高,且 , 当 变化时, 与 的大小成正比变化. 其中正确的是 . (填上所有正确结论的序号) 4.已知 的面积是 60 , 请完成下列问题: (1) 如图 (1), 若 是 的 边上的中线, 则 的面积 的面积 (填“>“ ” " 或 “ ") ; (2) 如图 (2), 若 分别是 的 边上的中线,求四边形 的面积可以 用如下方法: 连接 , 由 得 . 同理,可得 . 设 , 则 . 由题意得 , 可列方程组 解得 . 通过解这个方程组可得四边形 的面积为 . (3) 如图 (3), , 请你计算四边形 的面积, 并说明理由. 5. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象与 轴交于 两点,与 轴交于点 , 其顶点为 , 连接 , 过点 作 轴的垂线 . (1) 求点 的坐标; (2) 直线 上是否存在点 , 使 的面积等于 的面积的 2 倍?若存在,求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 【三角形中高、中线、角平分线长的求法】 若一个三角形三边长已知, 显然这个三角形大小与形状均确定, 因此其某条边上的高与中 线的长度必定可求, 某个内角的角平分线的长度也必定可求. 那么如何求解呢? 解决这些问题有一定的困难, 供有兴趣的师生阅读与研究. 对于学生来说, 如果感觉有难 度, 跳过去也无妨. 为了提供一个研究路径, 下面给出系列问题. 1. 在一个三角形中, 我们将一个内角两条夹边平方和与对方平方的差称为这个内角的勾股差. 下面在 中, 以 为例, 探讨其勾股差 的情况. 显然, 当 为直角时, . 当 不是直角时, 如图, 作 于点 . (1) 为锐角时, 求证: ; (2) 为钝角时, 求证: . (3) 在一个三角形三边长均已知的情况下, 请说明如何判断这个三角形中某一个内角是直 角, 还是锐角, 或钝角? 2. 撇开直角三角形与等边三角形, 若一个三角形的三边长均为整数, 且其中有一个内角的大 小也是整数度数, 那么这样的三角形是非常稀罕的. (1) 请说明若一个三角形的三边长分别为 (连续奇数, 甚至可以说成连续素数), 则 7 所对的角为 ; (2) 试说明: 若一个三角形的三边长分别为 , 则 7 所对的角为 ; (3) 试说明: 若一个