第6讲 让圆不再有隐形的翅膀 讲义 2022年中考数学复习解题技巧

第6讲 让圆不再有隐形的翅膀 知识架构 圆的定义: .. 方法一 : 利用“圆的定义” “找定点、寻定长” 现 “圆” 形. 一、单边定长 引例 如图, 正方形 的边长为 2 , 将长为 2 的线段 的两端放在正方形相邻的两边上 同时滑动. 点 从点 出发, 沿 方向滑动到点 为止; 同时点 从点 出发, 沿 方向滑动到点 为止. 那么在这个过程中, 线段 的中点 所 经过的路线围成的图形的面积为 . 变式 1: 在矩形 中, 已知 , 现有一根长为 的木棒 紧 贴着矩形的边 (即两个端点始终落在矩形的边上), 按逆时针方向滑动一周, 则木 棒 的中点 在运动过程中所围成的图形的面积为 . 变式 2: 如图, 在矩形 中, 分别为 边上的点, 且 为 的中点, 为 边上一动点, 则 的最小值为 . 变式 3 : 在平面直角坐标系中, 点 的坐标为 为 轴的正半轴上的点, 是第一象 限内的点, 且 . 设 , 则 的取值范围为 . 变式 4: 如图, 在矩形 中, 为 边的中点, 是 边上的动点. 将 沿 所在的直线折叠得到 , 连接 , 则 的最小值为 . 变式 5: 如图, 在 中, , 点 在 边上, 并且 , 为 边上的动点. 将 沿直线 翻折, 点 落在点 处, 则点 到 边距离的最小值是 . 变式 6: 如图, 在 中, 是 边上的动点 (不与点 重合). 将 沿 所在的直线翻折, 得到 , 连接 , 则 长度 的最小值是 . 变式 7: 如图, 在 中, 是 边的中点, 是 边上一动点. 将 沿 所在直线翻折得到 , 连接 , 则 长度的最小值是 . 二、共端点两条线段为定长 引例 在 中, , 则 面积的最大值为 . 归纳 若共端点的两条线段为定长, 可让一定边两个端点固定, 另一定边的端点在以公 共点为圆心、定长为半径的圆周上运动. 变式 1: 已知在四边形 中, , 则四边形 面积的最大值为 . 变式 2: 已知在 中, . 当 最大时, 的长是 . 变式 3: 问题背景 如图 (1), 在 中, . 问题初探 请写出任意一对满足条件的 与 的值: , . 问题再探 如图 (2), 在 右侧作 , 交 的延长线于点 , 求 的长. 问题解决 求 的面积的最大值. 三、共端点三条线段为定长 引例 如图, 已知 , 则 的度数为 . 变式 1 : 如图, 在四边形 中, , 则 . 变式 2: 如图, 在等腰 中, , 点 在 的外部, 且与点 均在 的同侧. 如果 , 那么 . 变式 3: 如图, 在 中, . 在 中, , 且点 在 边上. 连接 , 将线段 绕点 按逆时针方向旋转一定角度 得到线段 , 使得 , 则 的度数为 . 知识架构 如图, 点 轴于点 , 连结 . 在 轴的正半轴上求作点 , 使 . (尺规作图, 保留作图痕迹) 归纳 当某条边与该边所对的角是定值时, 该角的顶点的轨迹是圆弧. 方法二: 见直角 找斜边 定长 想直径 定外心 现 “圆” 形。 引例 已知 两点在直线 的异侧, 在 上求作点 , 使 为直角三角形. (尺规作图, 保留作图痕迹) 变式 : 如图, 在等腰 中, 为线段 上一动点, 连 接 , 过点 作 于点 , 连接 , 则 的最小值为 . 变式 2: 如图, 已知正方形 的边长是 是 边上一动点, 连接 , 过点 作 于点 是 边上另一动点, 则 的最小值为 . 变式 3 : 直线 分别与 轴、 轴相交于点 , 边长为 2 的正方形 的一个顶点 为直角坐标系的原点, 直线 与 相交于点 . 若正方形绕着点 旋转一周, 则点 到点 长度的最小值是 . 方法三：见定角 找对边 定长 想周角 转心角 现 “圆" 形。 问题提出: 如图, 已知线