第5讲 基本几何模型 讲义 2022年中考数学复习解题技巧

第5讲 基本几何模型 一、对角互补模型(构造全等) (一) 双 型 (1) 条件: (1) ; (2) 平分 . 结论: (1) ; (2) ; (3) . (2) 当 的一边与 的延长线相交时, 条件: (1) ; (2) 平分 . 结论: (1) ; (2) ; (3) . 例题讲解 如图,正方形 与正方形 的边长均为 10 , 点 是正方形 的中心, 正方形 绕点 旋转. 证明: 无论正方形 旋转到何种位置, 这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值, 并求这个定值. (二) 型 (1) 条件: (1) ; (2) 平分 . 结论: (1) ; (2) ; (3) . (2) 当 的一边与 的延长线相交时, 条件: (1) ; (2) 平分 . 结论: (1) ; (2) ; (3) . 例题讲解 如图, 在四边形 中, 平分 , 求 的长. 归纳 若四边形 中, , 则在下面三个结论中: (1) ; (2) 平分 ; (3) , 可以知二推一. 二、角含半角模型（必旋转） 1. 如图,在正方形 中, , 线段 之间的关系是: 图 (1):) ；图 (2):) . 例题讲解 如图, 中, . 点 在边 上,若 , 且 , 求 的长. 拓展 : 如图, 是边长为 3 的等边三角形, 是等腰三角形, , 以 为顶点作一个 角, 使角的两边分别交 边于点 , 连接 , 则 的周长为 . 拓展 2: 如图,在四边形 中 为 上一点, 且 . 若 , 则 的面积为) . 2. 条件: (1) 中, ; (2) . 结论: . 变式 1: 中, 于点 . 若 , 求 的 面积. 变式 2: 如图, 在等边 中, 点 在 边上, 且 . 若 , 求 的长. 三、一线三等角模型 如图 (1), ; 如图 (2), ; 㚼图 (3), . 例题讲解 1. 如图, 中, , 且 . 将 与 重合在 一起, 不动, 运动, 并满足: 点 在边 上沿点 到点 的方向运动, 且 始终经过点 与 交于点 . (1) 求证: ; (2) 探究: 在 运动过程中, 重叠部分能否构成等腰三角形? 若能, 求出 的长; 若不 能, 请说明理由; (3) 当线段 最短时, 求重叠部分的面积. 2. 如图, 将等边 折叠, 使得点 落在 边上的点 处, 折痕为 , 点 分别在 和 边上. 若 , 则 的值为 . 变式 如图, 在等边 中, 是 边上一点, 且 , 把 折叠, 使点 落在 边上的点 处, 那么 的值为 . 变式 2 : 如图, 在平面直角坐标系中, 点 . 将 沿直线 折叠, 使点 恰好落在线段 上的点 处. 若 , 则 的值是 . 四、 字模型 探究 在学习几何知识时, 我们可以通过分离和构造基本图形, 将几何 “模块” 化. 例如在 相似三角形中, 字型是非常重要的基本图形, 可以建立如下的“模块” (如图 (1) ): (1) 已知 , 则 ; 请就图 (1) 证朋上述“模块” 的合理性; (2) 请直接利用上述 “模块” 的结论解决下面两个问题: (i) 如图 (2), 已知点 , 点 在直线 上运动, 若 , 求此时点 的坐标; (ii) 如图 (3), 过点 分别作与 轴、 轴平行的线, 交直线 于点 , 求点 关于直线 的对称点 的坐标. 归纳 若知道直角三角形的两直角边的长度 (比值), 可通过两个锐角顶点作过直角顶点 的直线的垂线段构造字型全等或相似. 结论应用 1. 如图, 在 中, 为坐标原点, , 如果点 在反比例函数 的图象上运动, 那么点 在函数 (填函数解析式) 的图象上运动. 变式 1: 如图, 在 中, 为坐标原点, , 如果点 在反比例函 数 的图象上运动, 那么点 在函数 .(填函数解析式) 的图象上运动. 变式 2: 已知 是反比例函数 的图象在第一象限上的一动点, 连接 并延长, 交另一分支于点 , 以 为边作等边 , 点 在第四象限. 已知点 的位置始终在一函数图象上运动, 则这个函数解析式