专题17 圆锥曲线的离心率或离心率范围问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题17 圆锥曲线的离心率或离心率范围问题 1.一般求离心率有以下两种方法: 定义法：根据题意求出a,b,c的值,再由离心率定义:椭圆；双曲线直接求解； 方程法：由题意列出含有a,b,c的方程,借助于椭圆b2=a2-c2、双曲线b2=c2-a2消去b,构造a,c的齐次式,再求出e. 2.一般求离心率范围有以下两种方法: 构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于a,b,c的不等式,转化为关于a,c的齐次不等式,得到e的范围; 构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示e,研究参数范围,结合函数性质,得到e的范围. （2022•三门峡模拟）已知椭圆C：的右焦点为F，直线与C交于A，B两点，若∠AFB＝120°，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】把代入椭圆方程可得点A和B的坐标，再结合椭圆的对称性与tan60°，推出a，b与c的关系，最后根据b2＝a2﹣c2和e，得解． 【解答】解：把代入椭圆方程得，1，解得y＝±b， 不妨取A（，b），B（，b）， 因为∠AFB＝120°， 由椭圆的对称性知，∠AFO或其补角为60°， 所以，即|a﹣2c|＝b， 所以a2﹣4ac+4c2＝b2＝a2﹣c2，化简得4ac＝5c2， 所以离心率e． 故选：B． （2021秋•鼓楼区校级期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|＝2|FB|，且•a2，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A．（0，] B．（0，] C．（，1） D．，1） 【分析】设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知|BF|a，|BE|a，利用余弦定理求出cos∠BFA，结合平面向量的数量积计算即可． 【解答】解：由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则|BE|+|BF|＝2a， 因为点A，B关于原点对称，所以四边形EBFA为平行四边形， 由|FA|＝2|FB|，得||BF|a，|BE|a， 在△EBF中，cos∠EBFe2， 所以cos∠BFA＝﹣cos∠EBFe2， 由•a2，得||||cos∠BFAaa（e2）a2，整理得e2，又0＜e＜1， 所以e∈（0，] 故选：B． （2022•重庆模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点A在y轴上，△AF1F2为等边三角形，且线段AF2的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】设线段AF2的中点为M，可得|MF2|＝c，|MF1|，2a，即可得出答案． 【解答】解：设线段AF2的中点为M， 因为M恰在双曲线C上，可得|MF1|﹣|MF2|＝2a， 因为点A在y轴上，△AF1F2为等边三角形，所以故|MF2|＝c，|MF1|， 故2a， 所以离心率为e， 故选：C． （2022春•茂名月考）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若|AQ|≥2|AP|，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　） A．（1，] B．[，+∞） C．（1，] D．[，+∞） 【分析】由题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，不妨设双曲线的渐近线方程为y，求出P，Q的坐标，再结合条件，求出a，b，c之间的关系，即可求解． 【解答】解：由题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝c2， 不妨设双曲线的渐近线方程为y， 由，解得或， ∴Q（a，b），P（﹣a，﹣b）， ∵双曲线的左顶点为A，则A（﹣a，0）， ∴，|AP|， ∵|AQ|≥2|AP|， ∴，即4a2≥3（c2﹣a2）， ∴， 又∵e＞1， ∴． 故选：C． 1．（2022•西安模拟）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与x轴正半轴所成夹角为，则C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】求出的值，利用双曲线的离心率公式可求得结果． 【解答】解：双曲线C的渐近线方程为，由题意可得，则， 所以，． 故选：A． 2．（2022•南昌一模）已知F1，F2，B分别是椭圆的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF2并延长交C于点P，若△PF1B为等腰三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】设|PF2|＝x，则a+x＝2a﹣x，可求出x，所以|PF2|，|PF1|，|F1F2|＝2c，在△BF1F2中，由余弦定理表达出cos∠BF2F1，同理在△PF1F2中，由余弦定理表达出cos∠PF2F1，再利用cos∠BF2F1+cos∠PF2F1＝0即可求出离心率e的值． 【解答】解：由椭圆的几何性质可知|BF1|＝|BF2|＝a，设|PF2|＝x， 则|PF1|＝