专题突破5.3 空间向量与立体几何（课时作业）-2022高考理科数学【高考解码】二轮复习讲义

课时作业(十四)　空间向量与立体几何 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 1．(2021·浙江镇海中学高三模拟)在空间直角坐标系O－xyz中有一正三角形ABC，其边长为4，其中点A在z轴上运动，点B在平面xOy上，则OC的长度的取值范围是(　　) A．[2，6] B．[2－1，2＋1] C．[2－2，2＋2] D．[2－1，2＋1] 2．(2021·福建师大附中高三模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 3．(2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三三模(理))三棱锥P－ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则·的值为(　　) A． B．1 C． D．与D点位置关系 4．(2021·浙江省杭州第二中学高三模拟)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥PB, PA⊥PC, ∠BPC＝，且PA＝1, PB＝2, PC＝3，长度为1的线段MN的端点M在PA上，端点N在侧面PBC内运动，若MN的中点为T，△ABC的重心为G，则GT的最小值是________． 5．(2021·山东高三一模)在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P－ABCD，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，得到四棱锥P－AEFG；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG，若＝，＝，则的值为__________． 6. (2021·四川省绵阳南山中学高三模拟(理))如图，四边形ABEF为正方形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC， (1)求证：点D不在平面CEF内； (2)若平面ABCD⊥平面ABEF，求二面角A－CF－D的余弦值． 7．(2021·安徽六安一中高三模拟(理))如图，四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝ CD＝BC＝2. (1)求证：CD⊥平面PBD； (2)若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为，求二面角B－PC－D的余弦值． 8. (2021·福建三明一中高三模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC，BC∥AD，BC＝AB＝AD，E是AD的中点． (1)求证：PC⊥CD (2)若∠PBA＝45°，求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值． 9. (2021·陕西高三二模(理))如图，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心． (1)证明：GF∥平面ABC； (2)若平面ABC⊥底面BCDE，平面ACD⊥底面BCDE，BC＝3，CD＝6，AC＝6，求平面GCE与平面ADE所成锐二面角的大小． 10．(2021·广西师大附属外国语学校高三模拟(理))如图1，在四棱锥F－ABCD和四面体F′－EA′D′中，四边形ABCD为矩形，两个△FAD和△F′A′D′全等，△EA′D′为等边三角形，且AD＝AB，棱锥F－ABCD的四条侧棱相等，F′E⊥平面EA′D′，现将两个几何体中的△FAD和△F′A′D′重合，构成一个新的几何体FEABCD，如图2，并且CD⊥EA. (1)证明：点E为两个平面BAF和平面CDF的一个公共点； (2)求平面AED与平面BCF所成角(锐角)的余弦值． 11．(2021·攀枝花模拟)已知三棱锥P－ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中： (1)证明：平面PAC⊥平面ABC； (2)若点M为棱PA上一点且＝，求二面角P－BC－M的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $课时作业(十四)　空间向量与立体几何 1．【解析】　取AB的中点为D，连接OD，CD， 因为在空间直角坐标系中，∠AOB＝90°，即△AOB为直角三角形， 又AB＝4，所以OD＝OB＝2； 因为△ABC是边长为4的等边三角形，所以CD＝＝2， 因此点C在以D点为圆心，以2为半径的圆上， 为使OC的长度取得最值，只需O，C，D三点共线， 因此－≤≤＋，即2－2≤≤2＋2， 所以OC的长度的取值范围是[2－2，2＋2]. 故选：C. 【答案】　C 2．【解析】　设AP＝AB＝1， 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系