专题突破4 数列（3讲）（讲解word）-2022高考理科数学【高考解码】二轮复习讲义

专题四　数列 第一讲　等差数列、等比数列 　　　　　　　　　　　　　 考点一　等差、等比数列的基本运算 1．等差数列的通项公式及前n项和公式 an＝a1＋(n－1)d；Sn＝＝na1＋d. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝＝(q≠1). Sn＝nq1(q＝1) 　(1)(2021·北京){an}和{bn}是两个等差数列，其中(1≤k≤5)为常值，a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝(　　) A．64　　　　　　　　B．100 C．128 D．132 (2)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 【名师点评】 关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识． 【典题精练1】　(1)(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________. (2)(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________. 考点二　等差、等比数列的判定与证明 1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； (2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2). 2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明(n∈N*)为一常数； (2)利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2). 　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1， 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【名师点评】 判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题 (1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法． (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可． (3)a＝an－1an＋1(n≥2, n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. 【典题精练2】　(2021·闵行区校级一模)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m恒成立． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明数列是递增数列； (3)是否存在正常数c使得{lg (c－Sn)}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由． 考点三　等差、等比数列的性质及应用 1．等差数列的性质 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； (2)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列； (3)am－an＝(m－n)d⇔d＝(m，n∈N*) (4)＝(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和．) 2．等比数列的性质 (1)若m、n、r、s∈N*，且m＋n＝r＋s，则am·an＝ar·as；　 (2)an＝amqn－m； (3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列(q≠－1). 　(1)(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A.2　　　　　　　　　B．3 C．4 D．5 (2)(2021·郑州一模)已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12，则a4＝(　　) A．4　　　　B．32　　　　C．108　　　　D．256 【名师点评】 (1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解． (2)本例(2)利用了函数思想，数列是特殊函数，在求解数列的一些问题中，经常用到函数的性质，如周期性、单调性． 【典题精练3】　(1)(2021·濮阳一模){an}是公差不为0的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则该数列的前10项和S10＝________． (2)(2021·昌平区三模)数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a5＝b5，则(　　) A．a3＋a7＞b4＋b6 B．a3＋a7≥b4＋b6