北京市海淀区2022届高三一模数学试题

1 海淀区 2021~2022 学年第二学期期中练习 高三数学参考答案 2022.03 一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 B A C B D A C C A B 二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 2 2；1 1（只需 0a  即可） π 2 4 2 ； ①②④ 说明： 12 题、14 题两空前 3 后 2；15 题全选对 5 分，漏选 1 个 3 分，漏选 2 个 2 分，不选 0 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16）（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ） ( )f x 满足条件②和条件③. 由 ( ) 2sin cos cos2f x x x A x  ， 得 2( ) sin 2 cos2 1 sin(2 )f x x A x A x      , π π ( , tan ) 2 2 A     所以 ( )f x 的最大值为 21 A . 由条件②： ( )f x 的最大值为 2 ， 得 21 2A  ，得 1A   . 当 1A  时， π ( ) 2 sin(2 ) 4 f x x  ， π ( ) 2 8 f  ，满足条件③， 当 1A   时， π ( ) 2 sin(2 ) 4 f x x  ， π ( ) 0 8 f  ，不满足条件③， 所以， ( )f x 满足条件②和③，且 π ( ) 2 sin(2 ) 4 f x x  . （Ⅱ） 方法 1: 当 0 x m  时， π π π 2 2 4 4 4 x m    , 2 因为 ( )f x 在区间 (0, )m 上有且只有一个零点， 所以 π π 2 2π 4 m   ， 得 3π 7π 8 8 m  ， 所以m的取值范围是 3π 7π ( , ] 8 8 . 方法 2: 令 π 2 π, 4 x k k  Z ， 得 1 π π , 2 8 x k k  Z . 所以 ( )f x 的所有零点为 1 π π , 2 8 k k Z ，即 π 3π 7π , , , , 8 8 8  因为 ( )f x 在区间 (0, )m 上有且只有一个零点， 所以该零点为 3π 8 , m的取值范围是 3π 7π ( , ] 8 8 （17）（本小题 14 分） 解：（Ⅰ）在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，取棱 AD中点为 O， 因为 1 1AA A D ，所以 1AO AD . 又因为平面 1 1A ADD 平面 ABCD ，且平面 1 1A ADD 平面 ABCD AD ， 所以 1AO 平面 ABCD . 所以 1AO AB . 因为底面 ABCD 是正方形，所以 AB AD ， 因为 1AD AO O ， 所以 AB 平面 1A AD . 所以 AB  1A D ，即 1A D AB . （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系O xyz ，设 1OA 长度为 a， 因为正方形 ABCD 的边长 2AD  ， 则 (0,0,0)O ， (0, 1,0)A  ， (2, 1,0)B  ， (0,1,0)D ， 1(0,0, )A a ， 1(2,2, )C a . 3 所以 (2,0,0)AB  ， 1 (0,1, )A D a  ， 1 1 (2,2,0)A C  . 设平面 1 1A DC 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 1 1 1 0, 2 2 0, n A D y az n AC x y           令 1z  ，则 ,y a x a   ， 于是 ( , ,1)n a a  . 因为 AB 与平面 1 1A DC 的所成角的正弦值为 21 7 ， 所以 2 2 21 cos , 72 2 1 AB n a AB