2021届北京市海淀区高三一模数学试题 （解析版）

2021年北京市海淀区高考数学一模试卷 一、选择题（共10小题）. 1．已知集合A＝{1}，B＝{x|x≥a）．若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 2．如图，在复平面内，复数z对应的点为P．则复数的虚部为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a5＝S5＝5，则a1＝（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2 4．在的展开式中，x4的系数为12，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 5．函数①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（　　） A．①② B．② C．③ D．②③ 6．已知函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x＞1时，f（x）＝log2x，则f（8）﹣f（﹣2）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 7．已知，是单位向量，＝+2，若⊥，则||＝（　　） A．3 B． C． D． 8．已知点A（x1，x12），B（x2，x22），，则“△ABC是等边三角形”是“直线AB的斜率为0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a1＜a2＜a1，则（　　） A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．数列{Sn}有最大项 D．数列{Sn}有最小项 10．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为a，记平面a截牟合方盖所得截面的面积为s，则函数S＝f（h）的图象是（　　） A． B． C． D． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知函数f（x）＝x3+ax，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2．则实数a的值是　 　． 12．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为　 　． 13．已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝　 　，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝　 　． 14．若实数α，β满足方程组，则β的一个值是　 　． 15．对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线ax+by+c＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点到l的距离的最小值为d1，约定：d1越大，分类直线l的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位：百元）的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第Ⅰ组点，将Q1，Q2和Q3归为第Ⅱ组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L．给出下列四个结论： ①直线x＝2.5比直线3x﹣y﹣5＝0的分类效果好； ②分类直线L的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于L的同侧； ④如果从第Ⅰ组点中去掉点P1，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L． 其中所有正确结论的序号是　 　． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cosA＝， cos． （Ⅰ）求cos∠BDC； （Ⅱ）求BC的长． 17．在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2． （Ⅰ）求证：平面ABE∥平面CDF； （Ⅱ）设平面BEF∩平面CDF＝l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B﹣l﹣C的大小确定，并求此二面角的余弦值． 条件①：AB⊥AD； 条件②：AE⊥平面ABCD； 条件③：平面AED⊥平面ABCD． 18．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间