高中强基班招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（3）

高中强基班招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（3） （满分:100分） 第一部分 填空题（共64分） 1.若，则的值为 . 2.设实数a,b满足方程20a2+21a+7=0,7b2+21b+20=0,且ab≠1，则 . 3.已知m个正整数a1，a2，...，am满足1=a1＜a2，...＜am=1929，且其中任意m=1个数的算术平均数均为正整数，则m的最大值是 . 4.已知实数a,b满足，则2a2+ab-b2+3a-3b-1的值为 . 5.设，则3t3+10t2+2t+92代数式的值为 . 6.如图，在圆O中，半径OA=4，点B是半径OA上的中点，P、Q是圆O上的两个动点，∠PBQ=90°，M是PQ的中点，则OM的长的最小值等于 . 7. 定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，则方程[x]+[2x]=6x-的所有实数解的和是 . 8.若时-3≤x≤3，多项式的最小值是m，且实数a,b满足，则的最小值为 . 第二部分 解答题（共36分） 9.在中，，内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E, 设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点. 求证：A，C，K，L四点共圆. 10.已知非负实数a1，a2，...，a70满足0≤a1≤a2≤...≤a70，且a1+a2+...+a68≤70，a69+.a70≤70，求a12+a22+...+a702的最大值. 11.已知,若为整数，在使得为完 全平方数的所有的值中，设的最大值为，最小值为，次小值为．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求的值； （2）对进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2022？证明你的结论． 参考答案 第一部分 填空题（共64分） 1. 若，则的值为 . 答案： 解析：a＜0时，a- =a-（-）=a+ =1 解方程得 无解 a大于0时，a- =a- =1 解方程得 a= 代入 = 2.设实数a,b满足方程20a2+21a+7=0,7b2+21b+20=0,且ab≠1，则 . 答案：0 解析：7b²+21b+20=0 两边同除以b² 得 7+21（）²+20（）²=0 ∴ a和 为方程20t²+21t+7=0的两个解 ∴ = a++ ∴利用韦达定理 t1+t2=- t1·t2= 代入得 原式=0 3.已知m个正整数a1，a2，...，am满足1=a1＜a2，...＜am=1929，且其中任意m=1个数的算术平均数均为正整数，则m的最大值是 . 答案：9 解析： 设,....去掉后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数(i=1,2,,,,n)= 于是，对于任意的1,都有, 从而，n-1|() 由于= 是正整数，故n-1| 由于. ∴,于是n,结合n-1|,n. 另一方面，令=1，=9，，，， 这9个数满足题设要求，综上所述，n的最大值为9 4.已知实数a,b满足，则2a2+ab-b2+3a-3b-1的值为 . 答案：1 解析：∵和可得a=b 得 则2a2+ab-b2+3a-3b-1= 5.设，则3t3+10t2+2t+92代数式的值为 . 答案：100 解析：把t值代入式子即可 6.如图，在圆O中，半径OA=4，点B是半径OA上的中点，P、Q是圆O上的两个动点，∠PBQ=90°，M是PQ的中点，则OM的长的最小值等于 . 答案： -1 解析： 8. 定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，则方程[x]+[2x]=6x-的所有实数解的和是 . 答案：1 解析： x-1<[x]≤x 2x-1 < [2x]≤2x 3x-2 <[x]+[2x]≤3x [x]+[2x]=6x- 3x-2 <6x-≤3x 解得： < x ≤ < 2x ≤ 此时[x]=0一定成立 当 < 2x <1时[2x]=0 有 0=6x- 解得：x= 当1 < 2x ≤ 时[2x]=1 有1=6x- 解得：x= 所以[x]+[2x]=6x-的所有实数解的和为1 8.若时-3≤x≤3，多项式的最小值是m，且实数a,b满足，则的最小值为