高中强基班招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（2）

高中强基班招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（2） （满分120分） 1. [x]表示不超过x的最大整数，则[]= . 2. 函数的图像对一切有意义的k恒过一定点的坐标为 . 3 在△ABC中，已知∠CAB=60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE，则∠DCB= . 4. 已知实数a、b、c满足a+b+c=10，abc-23a=40及a≥b≥c，则的最小值为 . 5.当函数取得最小值时，x= . 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°，连接BE，取BE的中点G，连接AG，DG，CE，当BD＞CD，∠AEC=150°时，= . 五、解答题：共52分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。 7.（16分） 如图，点P为⊙O外一点，AP切⊙O于点A，PBC交⊙O于B、C两点，AH⊥OP于点H. （1）证明：AH2=BH·CH； （2）若A、H、B、P四点公圆，⊙O的半径为1，cos∠APH=，求△HBC的面积. 8.（16分） 已知实数a1，a2，...，an，b1，b2，...，bn，c1，c2，...，cn，的值只能取0或1. 定义：， . 证明： （1）； （2）三个数中至少有一个是偶数. 9（20分） 如图，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（0,1），直线l：，两个动点P、Q分别以5单位/秒、1单位/秒的速度以点O为起点，分别沿直线l在第一象限的部分及x轴正半轴同时开始运动. （1）当AQ⊥PQ时，求过A、P、Q三点的抛物线C：的解析式； （2）若点R为（1）中所求抛物线C上的点，在某一时刻，点R恰好为△OPQ的外接圆半径及圆心坐标. 10.已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值. 参考答案 1. [x]表示不超过x的最大整数，则[]= . 答案：2020 解析：∵ 故答案为2020 2. 函数的图像对一切有意义的k恒过一定点的坐标为 . 答案： 解析：由一次函数得， 整理得： 因为等式对一切有意义的K成立，所以得 解得 3. 在△ABC中，已知∠CAB=60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE，则∠DCB= . 答案：20° 解析：延长AB到F使BF=AD，如图： ∵∠CAD=60°,∠ADE=60° ∴△ADE为等边三角形 ∴AD=DE=AE,∠ADE=60° ∴∠BDE=180°-∠ADE=120° ∵∠CDB=2∠CDE ∴3∠CDE=120°,解得∠CDE=40° ∴∠CDB=2∠CDE=80° ∵BF=AD ∴BF=DE ∵DE+BD=CE ∴BF+BD=CE,即DF=CE ∵AF=AD+DF,AC=AE+CE ∴AF=AC 而∠BAC=60° ∴△AFC为等边三角形 ∴CF=AC,∠F=60° 在△ACD和△FCB中，有： ∴△ACD≌△FCB(SAS) ∴CB=CD ∴∠CBD=∠CDB=80° ∴∠DCB=180-(∠CBD+∠CDB)=20° 故答案为20° 4. 已知实数a、b、c满足a+b+c=10，abc-23a=40及a≥b≥c，则的最小值为 . 答案：30 解析：已知a＞0，由题设知，b+c＝10-a，且 所以b、c是如下关于x的一元二次方程的两个根： 故 即，所以a≥20 于是b+c=10-a≤-10， 从而，故 当a=20，b=-5，c=-5时等号成立 所以最小值为30 5.当函数取得最小值时，x= . 答案： 解析：变形得，设P（x，x）,A（-1，1），B（3，2）则,而P是直线y=x上的动点，因为A,B两点在直线y=x两侧，所以.当P,A,B三点共线时，直线AB的方程为，与y=x联立解得 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是