专题16 圆锥曲线的中点弦问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题16 圆锥曲线的中点弦问题 关于直线与圆锥曲线相交的中点弦的有关结论(已知直线与圆锥曲线交于A,B两点,且AB的中点为M(x0,y0)： （1）当曲线是椭圆时,； 证明：设点A(x1,y1)、B(x2,y2),则,两个等式作差得,整理可得,设线段AB的中点为,即,. （2）当曲线是双曲线,(注:双曲线中利用点差法求解中点弦所在直线的斜率时, 要将结果带回原方程进行验证) （3）当曲线是抛物线y2=2px时,. （2021秋•雅安期末）直线AB过椭圆内一点P（1，n），若点P为弦AB的中点，设k1为直线AB的斜率，k2为直线OP的斜率，则k1•k2的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），，作差，1n•k1＝0，即可得出k1k2． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ， 所以0， 所以••0， 所以1n•k1＝0， 所以nk1， 所以k1k2＝k1•nk1， 故选：A． （2021秋•1月份月考）椭圆C：mx2+ny2＝1与直线y＝1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P（x0，y0）．利用“点差法”即可得到m（x1+x2）（x1﹣x2）+n（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，又x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，，kOP，即可得出． 【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P（x0，y0）． 由mx12+ny12＝1，mx22+ny22＝1两式相减得m（x1+x2）（x1﹣x2）+n（y1+y2）（y1﹣y2）＝0， 又x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，， ∴mx0ny0＝0， ∵kOP，∴． 故选：D． （2021秋•亳州期末）已知斜率为的直线l分别交双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右支于点M，N，线段MN的中点为P，若OP（点O为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则由题意可得，再将M（x1，y1），N（x2，y2） 坐标代入双曲线方程 中，两式相减化简可得a2＝b2，从而可得c2＝2a2，进而可求出离心率． 【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则，， 因为OP（点 O 为坐标原点）的斜率为2， 所以，所以， 因为M（x1，y1），N（x2，y2）在双曲线 上， 所以， 两式相减得， 所以， 所以a2＝b2，所以a2＝c2﹣a2， 所以， 所以离心率为， 故选：B． （2021秋•杨浦区校级期末）过点M（1，1）作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则双曲线Γ的离心率为 　　． 【分析】根据已知条件，利用“点差法”和双曲线的性质，即可求解． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵A，B为双曲线 的两点， ∴，两式相减，化简整理，可得 ∵M（1，1）为AB的中点，且直线AB斜率为， ∴， ∴则双曲线Γ的离心率为e． 故答案为．． （2021秋•龙华区校级期末）已知抛物线y2＝4x，一条直线l与该抛物线相交于A、B两点，若AB的中点M的纵坐标为2，则直线l的斜率k为（　　） A． B．1 C．2 D．﹣1 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，作差可得2•kAB＝2，即可得出答案． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以， 所以（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2）， 所以•2， 所以2•kAB＝2， 所以kAB＝1， 故选：B． （2021秋•成都期末）已知抛物线x2＝2py（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（　　） A．y＝﹣3 B． C．x＝﹣3 D． 【分析】根据已知条件，结合点差法，即可求解． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵A，B为抛物线上的点， ∴，， ∴2p（y1﹣y2），即， ∵线段AB的中点的横坐标为3， ∴x1+x2＝2×3＝6， ∴p＝3， ∴该抛物线的准线方程为y． 故选：B． 1．（2021秋•安康期末）若椭圆C：mx2+ny2＝1与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则（　　） A． B． C． D．2 【分析】设A，B的坐标，将直线AB的方程与椭圆的方程联立求出两根之和，进而求出AB的中点的坐标，由题意可得参数m，n的关系，求出的值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立， 整理可得：（m+2n）x2﹣2nx+n﹣1＝0， 所以x1+x2，