第十五讲 相似图形-【数理报·抢分计划系列】2022中考数学总动员

书 ２１．（１）四边形ＡＦＤＥ是平行四边形．理由如下： 由旋转的性质，得ＤＥ＝ＡＣ＝ＡＢ＝ＡＦ，∠ＢＡＦ＝ α，∠ＤＥＢ＝∠Ｃ＝∠ＡＢＣ＝α，所以∠ＤＥＢ＝∠ＢＡＦ， 所以ＤＥ∥ＡＦ， 所以四边形ＡＦＤＥ是平行四边形． （２）证明：由旋转的性质，得 ∠ＤＢＡ＝∠ＦＡＢ＝ ９０°，ＤＢ＝ＡＢ＝ＡＦ， 所以∠ＤＢＡ＋∠ＦＡＢ＝１８０°，所以ＤＢ∥ＡＦ， 所以四边形ＡＦＤＢ是平行四边形． 因为ＤＢ＝ＡＢ，所以四边形ＡＦＤＢ是菱形． 因为∠ＤＢＡ＝９０°，所以菱形ＡＦＤＢ是正方形． 《相似图形》跟踪训练 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．Ａ； ５．设小芳所在Ｃ处到公路南侧ＰＱ的距离为ｘｍ， 且２１．６×５１８＝６（ｍ／ｓ）． 因为ＡＢ∥ＰＱ，所以△ＣＡＢ∽△ＣＰＱ， 所以 ＡＢ ＰＱ＝ ｘ－１０ ｘ ，所以 １２ ６×３＝ ｘ－１０ ｘ ， 解得ｘ＝３０． 答：小芳所在Ｃ处到公路南侧ＰＱ的距离为３０ｍ． 《相似图形》抢分演练 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ 二、１１．５６；　１２．２；　１３． 槡１６２；　１４． ６ ５； １５．－３×２２０１９；　１６． 槡４ １３． 三、１７．（１）证明：因为ＡＥ＝３，ＡＣ＝６，ＡＤ＝２，ＡＢ＝ ４， 所以 ＡＤ ＡＢ＝ １ ２， ＡＥ ＡＣ＝ １ ２，所以 ＡＤ ＡＢ＝ ＡＥ ＡＣ． 因为∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ， 所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ， 所以∠Ｅ＝∠Ｃ，所以ＤＥ∥ＢＣ． （２）由（１）知△ＥＡＤ∽△ＣＡＢ， 所以 ＥＤ ＢＣ＝ ＡＥ ＡＣ． 因为ＢＣ＝５，所以ＥＤ５ ＝ １ ２， 所以ＥＤ＝ ５２． １８．（１）图略． （２）点Ｍ对应的点Ｍ′的坐标为（２ａ，２ｂ）或（－２ａ， －２ｂ）． １９．（１）证明：因为ＡＢ＝ＡＣ， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ． 因为∠ＡＰＤ＋∠ＤＰＣ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＰ，∠ＡＰＤ＝ ∠Ｂ， 所以∠ＤＰＣ＝∠ＢＡＰ，所以△ＡＢＰ∽△ＰＣＤ． （２）因为△ＡＢＰ∽△ＰＣＤ， 所以 ＡＢ ＰＣ＝ ＢＰ ＣＤ，即 ＡＢ ＢＰ＝ ＰＣ ＣＤ． 因为ＰＤ∥ＡＢ， 所以 ＰＣ ＢＣ＝ ＣＤ ＡＣ，即 ＰＣ ＣＤ＝ ＢＣ ＡＣ． 所以 ＡＢ ＢＰ＝ ＢＣ ＡＣ， 所以 １０ ＢＰ＝ １２ １０，即ＢＰ＝ ２５ ３． ２０．因为ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ， 所以∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ． 因为ＯＡ＝ＯＣ， 所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝ １２（１８０°－∠ＢＯＤ）， 同理可得∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ＝１２（１８０°－∠ＢＯＤ）， ∠ＯＥＦ＝∠ＯＦＥ＝ １２（１８０°－∠ＢＯＤ）， 所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＤ＝∠ＯＥＦ， 所以ＡＣ∥ＢＤ∥ＥＦ． 过点Ｏ作ＯＮ⊥ＥＦ于点Ｎ，在Ｒｔ△ＯＥＮ中，ＯＮ＝ ＯＥ２－ＥＮ槡 ２ ＝３０（ｃｍ）． 过点 Ａ作 ＡＭ⊥ ＢＤ于点 Ｍ，所以 Ｒｔ△ＯＥＮ∽ Ｒｔ△ＡＢＭ， 所以 ＯＥ ＡＢ＝ ＯＮ ＡＭ，所以ＡＭ ＝ ＯＮ·ＡＢ ＯＥ ＝１２０（ｃｍ）． 所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于 １２０ｃｍ 时，连衣裙才不会拖在地面上． ２１．（１）４． （２）证明：因为∠ＥＤＦ＝６０°，∠Ｂ＝６０°， 所以∠ＣＤＦ＋∠ＢＤＥ＝１２０°，∠ＢＥＤ＋∠ＢＤＥ＝ １２０°，所以∠ＢＥＤ＝∠ＣＤＦ． 又因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°， 所以△ＥＢＤ∽△ＤＣＦ． （３）存在．过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ ＢＥ，ＤＧ⊥ ＥＦ，ＤＮ⊥ ＣＦ，垂足分别是点Ｍ，Ｇ，Ｎ． 因为ＥＤ平分∠ＢＥＦ，ＦＤ平分∠ＣＦＥ， 所以ＤＭ ＝ＤＧ＝ＤＮ． 又因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，∠ＢＭＤ＝∠ＣＮＤ＝９０°， 所以△ＢＤＭ≌△ＣＤＮ（ＡＡＳ）， 所以ＢＤ＝ＣＤ，即点Ｄ是ＢＣ的中点， 所以 ＢＤ ＢＣ＝ １ ２． 《锐角三角函数》跟踪训练 １．Ｂ；　２．０；　３．Ｃ；　４．Ｂ； ５．过点Ａ作ＡＨ⊥ＥＦ于点Ｈ，交直线ＤＧ于点Ｍ， 过点Ｂ作ＢＮ⊥ＤＧ于点 Ｎ，ＢＰ⊥ ＡＨ于点 Ｐ，则四边 形ＢＮＭＰ和四边形ＤＥＨＭ均为矩形， 所以ＰＭ ＝ＢＮ，ＭＨ＝ＤＥ＝５ｃｍ，ＢＰ∥ＤＧ， 所以∠ＣＢＰ＝∠ＢＣＤ＝７５°， 所以∠ＡＢＰ＝∠ＡＢＣ－∠ＣＢＰ＝４５°． 在Ｒｔ△ＡＢＰ中，∠ＡＰＢ＝９０°，ｓｉｎ４５°＝ＡＰＡＢ， 所以ＡＰ＝ＡＢ·ｓｉｎ４５°＝ 槡５０２（ｃｍ）． 在Ｒｔ△ＢＣＮ中，∠ＢＮＣ＝９０°，ｓｉｎ７５°＝ＢＮＢＣ， 所以ＢＮ＝ＢＣ·ｓｉｎ７５°≈８０×０．９７＝７７．６（ｃｍ）， 所以ＰＭ ＝ＢＮ＝７７．６ｃｍ， 所以ＡＨ＝ＡＰ＋ＰＭ＋ＭＨ＝ 槡５０２＋７７．６＋５≈ １５３．１（ｃｍ）． 答：指示牌最高点 Ａ到地面 ＥＦ的距离约为 １５３．１ｃｍ． 《锐角三角函数》抢分演练 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｄ