专题4.46 三角形全等几何模型——对角互补模型（专项练习）-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.46 三角形全等几何模型——对角互补模型（专项练习） 一、模型的理解： 对角之和为180的四边形:如图,四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°,则根据四边形内角和,可知∠B+∠D=180°,则称该四边形为对角互补四边形 二、解题思路： 通过旋转或作垂线构造全等、相似三角形;作四边形的外接圆,借助圆的性质解题 图一 图二 三、基本模型 1) 、含一对直角和一组相等邻边型； 2) 、含60度、120度和一组相等邻边型； 3) 、一般对角互补四边形---构造相似三角形； 4) 、对角互补四边形黄同特征---四点共圆。 四、巩固训练（专项练习） 1．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形” 例如，如图①，四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是“等补四边形”． 概念理解 （1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“等补四边形”的是__________；（填写序号） ① （2）如图②，在菱形ABCD中，，E、F分别是CD、AD边上的动点（不与点A、D、C重合），且． 求证：四边形BEDF为等补四边形． ② 性质探究 （3）如图③，在等补四边形ABCD中，，，连接BD．求证：BD平分． 性质应用 （4）如图④，，用直尺和圆规求作点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是等补四边形．（要求：作出两种不同的图形，不写作法，保留作图痕迹） 2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 3．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明． 4．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 5．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 请利用上面信息解决以下问题：已知中，，，D为边的中点，，绕D点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于E、F． （1）当绕D点旋转到于E时（如图①），求证：； （2）当绕D点旋转到和不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 6．如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且． 求证： 如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论． 7．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______________； 探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 8．如图，在中，，将沿向下翻折后，再绕点按顺时针旋转度（）．得到，其中斜边交于点，直角边分别于点 请根据题意用实线补全图形；（不得用铅笔作图）． 求证： 9．已知:如图，在中,,,是边上的中点,将绕点顺时针旋转，旋转角为得到,的两边分别与、边相交于点,两点，连结. (1)求证:; (2)求的度数; (3)当变成等腰直角三角形时,求的长; (4)在此运动变化的过程中，四边形的面积是否保持不变?试说明理由. 10．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ADB＝45° （1）求证：BD⊥CD； （2）