必考点01 平面向量的概念及运算-【对点变式题】2021-2022学年高一数学下学期期中期末必考题精准练（人教A版2019必修第二册）

必考点01 平面向量的概念及运算 题型一 平面向量的有关概念 例题1设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 例题2 给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②λa=0(λ为实数),则λ必为零; ③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中错误的命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解题技巧提炼】 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线. 题型二 向量的线性运算 例题1(1)在△ABC中,=,若=a,=b,则=( ) A.a+b B.a+b C.a-b D.a-b (2)(一题多解)已知A,B,C三点不共线,且点O满足16-12-3=0,则( ) A.=12+3 B.=12-3 C.=-12+3 D.=-12-3 例题2在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ等于( ) A.1 B. C. D. 【解题技巧提炼】 看个性 1.是向量的线性运算,即用几个已知向量表示某个向量,基本技巧为: 一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则. 2.是1.的逆运算.解决此类问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较求参数的值. 找共性 (1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解. (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 题型三 向量共线定理及应用 例题1设两个非零向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 【解题技巧提炼】 利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线. [提醒] (1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量. (2)证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点. 题型一 平面向量的有关概念 1.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④两向量a,b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是_. 2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a 题型二 向量的线性运算 1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( ) A.- B.- C.+ D.+ 2.如图,在直角梯形ABCD中,=,=2,且=r+s,则2r+3s=_. 题型三 向量共线定理及应用 1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 2.已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=( ) A. B. C. D. 3.已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在( ) A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上 一、单选题 1.下列结论中正确的是( ) ①若且,则; ②若,则且; ③若与方向相同且,则; ④若,则与方向相反且. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 2.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量与的关系是( ) A.= B. C.> D.< 3.已知,是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的有( ) ①,;②,;③,. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.下列各式的结果一定为零向量的是( ) A. B. C. D. 5.如图,向量,,,则向量可以表示为( ) A. B. C. D. 6.设,是两个不共线的向量,若向量与向量共线,则( ) A. B. C. D. 二、多选题 7.等边三角形中,,,与交于F,则下列结论正确的是( ) A.