第6讲 多变量问题 讲义-2022届高三数学二轮复习专题

第6讲 函数中的多变量问题 一、学习目标 1. 学会多变量问题的处理策略； 2. 体会单变量思想的运用. 2、 典例分析 例1．已知函数，证明：当时，． 【答案】当时，． 令，则，，由于 于是在递减；在递增；所以 ．因此． 变式：已知函数．当时，求证：． 【答案】要证，只需证． ①当时，，，，显然成立． ②当时，，，由可得，， 于是原问题可转化为，即证． 令，则， 令，则， 易知在上递增，又，， 所以存在使得，且在上递减，在上递增， 又，，故当在上递减，上递增 所以当时，，即． 例2．已知函数，.若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】对任意，都有成立，从而 对，，从而在递减，递增，. 又，则. 下证当时，在恒成立.， 即证即可. 变式：已知函数，，其中．若对任意都有≥成立，求实数的取值范围． 【答案】原问题等价于对任意x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max. 当x∈[1，e]时，g′(x)＝1＋＞0. ∴函数g(x)＝x＋ln x在[1，e]上是增函数，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1. ∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0. ①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)＝＞0， ∴函数f(x)＝x＋在[1，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2. 由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意． ②当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0， 若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0. ∴函数f(x)＝x＋在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(a)＝2a. 由2a≥e＋1，得a≥. 又1≤a≤e，∴≤a≤e. ③当a＞e且x∈[1，e]时f′(x)＝＜0，函数f(x)＝x＋在[1，e]上递减 ∴f(x)min＝f(e)＝e＋. 由e＋≥e＋1，得a≥，又a＞e，∴a＞e. 综上所述，a的取值范围为[，＋∞)． 例3．已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：． 【答案】（1）的定义域为，. （i）若，则，当且仅当，时，所以在递减. （ii）若，令得，或. 当时，； 当时，.所以在递减，在递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则. 由于， 所以等价于. 设