03 专题三：二次函数与胡不归问题（PA+k·PB最小值）问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2017•高新区一模）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5． （1）求抛物线的函数表达式； （2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB，求△PBD面积的最大值； （3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 1．解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． ∵直线yx+b经过点B（4，0）， ∴4+b＝0，解得b， ∴直线BD解析式为：yx， 当x＝﹣5时，y＝3， ∴D（﹣5，3）， ∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上， ∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3， ∴a． ∴抛物线的函数表达式为：yx2x （2）设P（m，m2m） ∴S△BPD9[（m）﹣（m2m）] m2m+10 （m）2 ∴△BPD面积的最大值为； （3）如图， 作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F， ∵由（2）得，DN＝3，BN＝9， ∵∠DBA＝30°， ∴∠BDH＝30°， ∴QG＝DQ×sin30°FD， ∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小， 点M在整个运动中用时为：t＝AFQD＝AF+FH， ∵lBD：yx， ∴Fx＝Ax＝﹣2，F（﹣2，2） ∴当F坐标为（﹣2，2）时，用时最少． 2．（2021•岳池县模拟）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD，求线段CD的长； （2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PEEC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标． 2．解：（1）如图1， 过点D作DK⊥y轴于K， 当x＝0时，y， ∴C（0，）， ∵yx2x ， ∴D（，）， ∴DK，CK， ∴CD ； （2）由x2x0得， x1＝﹣3，x2， ∴A（﹣3，0），B（，0）， ∵C（0，）， ∴直线AC的解析式为：yx， ∴设E（x，x），P（x，x2x）， ∴PE＝（x2x）﹣（x） x2x， EFx， Rt△ACO中，AO＝3，OC， ∴AC＝2， ∴∠CAO＝30°， ∴AE＝2EFx， ∴CE＝AC﹣AE＝2（x） ， ∴， ∴PEECx2xx， （x+2）2， ∴当PEEC的值最大时，x＝﹣2，此时P（﹣2，）， ∴PC＝2， ∵O1B1＝OB， ∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小， 如图2， 将点P向右平移个单位长度得点P1（，）， 连接P1B1，则PO1＝P1B1， 作点P1关于x轴的对称点P2（，）， 则P1B1＝P2B1， ∴PO1+B1C＝P2B1+B1C， ∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1， ∴B1（，0）， 将B1向左平移个单位长度即得点O1， 此时PO1+B1C＝P2C， 对应的点O1的坐标为（，0）， ∴四边形PO1B1C周长的最小值为； 3．（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，二次函数yx2x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C． （1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MNNB的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由． （2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平面内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由． 3．解：（1）二次函数yx2x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C， 则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6）， 则直线BC的表达式为：yx+6， 设点P（x，x2x+6），则点E（x，x+6）， PE﹣2EF＝yP﹣3yEx2x+6﹣3（x+6）x2+3x﹣12， 当x＝9时，PE﹣2EF有最大值，此时，点P（9，6）， 即点C是点P关于函数对称轴的对称点， 过点B作直线HB与x轴的夹角为