03 专题三：二次函数与胡不归问题（PA+k·PB最小值）问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2017•高新区一模）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB，求△PBD面积的最大值；

（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

1．解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线yx+b经过点B（4，0），

∴4+b＝0，解得b，

∴直线BD解析式为：yx，

当x＝﹣5时，y＝3，

∴D（﹣5，3），

∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，

∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，

∴a．

∴抛物线的函数表达式为：yx2x

（2）设P（m，m2m）

∴S△BPD9[（m）﹣（m2m）]

m2m+10

（m）2

 

∴△BPD面积的最大值为；

（3）如图，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵由（2）得，DN＝3，BN＝9，

∵∠DBA＝30°，

∴∠BDH＝30°，

∴QG＝DQ×sin30°FD，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：t＝AFQD＝AF+FH，

∵lBD：yx，

∴Fx＝Ax＝﹣2，F（﹣2，2）

∴当F坐标为（﹣2，2）时，用时最少．

2．（2021•岳池县模拟）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；

（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PEEC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．

2．解：（1）如图1，

过点D作DK⊥y轴于K，

当x＝0时，y，

∴C（0，），

∵yx2x

，

∴D（，），

∴DK，CK，

∴CD

；

（2）由x2x0得，

x1＝﹣3，x2，

∴A（﹣3，0），B（，0），