专题15 立体几何中的常客—正方体-备战2022年高考数学命题意图揭秘（江苏，山东等新高考地区专用）

专题15 立体几何中的常客—正方体 一、真题展示 1.(2021全国卷Ⅰ)在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为 A. B. C. D. 2. (2021新高考全国卷Ⅱ)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足的是( ) A. B. C. D. 3.(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的校长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则 截此正方体所得截面而积的最大值为 ( ) A. B. C. D. 二、命题意图揭秘 正方体是高中数学中最常见、最重要的的几何体,以正方体为载体,可考查各种线线、线面、面面位置关系以及面积、体积等计算问题等,这类问题是高考命题的一个热点,特别是随着新教材的推广,三视图内容逐渐弱化,以正方体为载体的试题更加受命题者的青睐. 三、重点知识与方法整合 (一)正方体展开图 1.一线不过四 ( 图 1 图 2 图 5 )是指在正方体展开图中,一条直线上的小正方形不会超过四个,如图1、图2都不是正方体的展开图. 例1.下面每个图片都是由6个大小相同的正方形组成,其中不能折成正方体的是( ) ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) 【解析】因为一条直线上的小正方形不会超过四个,所以应选(B). 2.田、凹应弃之 就是说在正方体表面展开图中不会有“田”字型、“凹”字型的形状, 如图3、图4、图5. ( 图 4 ) ( 图 3 ) 例2.在下列图形中(每个小正方形皆为全等的正方形),可以是一个正方体表面展开图的是( ). ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) 【解析】通过观察、想象,可以知道A、D含“田”字型、“凹”字型,B也不能, 应选C. 3.相间、“Z”端是对面 相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面,如图6中的A面和B面;“Z”字两端处的小正方形是正方体的对面,如图7、图8的A面和B面. ( A B 图 6 ) ( A B 图 8 ) ( 图 9 ) ( A B 图 7 ) 例3.如图9,一个正方体的每个面上都写有一个汉字,其平面展开图如图9所示,那么在该正方体中,和“超”相对的字是 . 【解析】自—信—沉—着—超,构成了竖着的Z字型,所以“自”与“超”对应,故应填“自”. 4.间二、拐角邻面知 中间隔着两个小正方形或拐角型 的三个面是正方体的邻面. 例4.如图10,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图可以是( ) ( ( B ) 图 10 ) ( ( A ) ) ( ( C ) ) ( ( D ) ) ( ( 正方体纸盒 ) ) 【解析】我们把画有圆的一面记为a面,正方形阴影面记为b面,三角形阴影面记为c面. 在选项A中,由Z字型结构知b与c对面,与已知正方体bc相邻不符,应排除;在选项B中,b面与c面隔着a面,b面与c面是对面,也应排除;在选项D中,虽然a、b、c三面成拐角型,是正方体的三个邻面,b面作为上面,a面为正面,则c面应在正方体的左面,与原图不符,应排除,故应选(C). (二)作正方体截面中的分类讨论思想 正方体是立体几何中一个重要的模型,它是一种非常对称的几何体.如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢?因为正方体有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到的截面图形最多有六条边.所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形. 探究1:截面图为三角形时,有几种情况? 1. 可以截出等腰三角形: 如上图,一正方体被一平面所截后得到截面GEF,显然,只要BE=BF就有GE=GF, ⊿GEF就是等腰三角形所以,截到等腰三角形的情况存在. 2.可以截出等边三角形: 如上图一正方体被一平面截后得到三角形GEF,只要BE=BF=BG就有GE=EF=GF 所以,截到等边三角形的情况存在. 3.不能截出直角三角形: 若一正方体被一平面截后∠GEF是直角,由GE⊥EF及GB⊥EF,可得EF与FB重合即E点与B点重合不合实际. 探究2:如果,截面为四边形,那么,可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形: 【解析】过一正方体的一棱有无数个矩形,只要长宽不等,就是长方形.所以,存在这一情况. 如上图;取正方体一棱AB,作与棱AB平行的平面就可以得到一个矩形截面. 2.可以截出正方形: 正方体六个表面都是正方形只要用一平行于原表面的平面去截正方体,就可以得到正方形截面,如图所示. 3.可以截出梯形: 【解析】用一平面从正方体上表面斜截下,与下底面相交,因为上下两底面平行,由面面平行的性质定理可得EH∥FG,只要EH≠FG,所以可截到梯形. 4.截面还可以是平行四边形或菱形 【解析】如图当AE= C1F时四边形A1ECF是菱形,调整面A1ECF的倾