专题15 圆锥曲线的焦点三角形问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题15 圆锥曲线的焦点三角形问题 椭圆上任意一点P与两焦点F1、F2构成的三角形:，如下图所示： 1.的周长为定值:2(a+c)。 2.当点P靠近短轴端点时增大,当点P靠近长轴端点时减小;与短轴端点重合时最大。 3. 三角形面积,即P与短轴端点重合时面积最大。 推导过程：+=2a① 4c2=2+2-2cos② ③，联立①②③即可得结论.   （2021秋•河南期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则点P到x轴的距离为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】先根据a，b，c的值分析出顶点F1或F2为直角顶点，然后得出点P的横坐标，代入椭圆方程即可求解． 【解答】解：设椭圆短轴上一个端点为M， 由于a＝4，b＝3，∴，∴∠F1MF2＜90°， ∴只能∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°， 令得：，∴， 即点P到x轴的距离为， 故选：D． （2021秋•上高县校级月考）已知椭圆1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是　　． 【分析】P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，分两种情况：两焦点连线段F1F2为直角边；两焦点连线F1F2为斜边，计算P点横坐标，代入方程得纵坐标，即可得到P到y轴距离． 【解答】解：a＝5，b＝4，c＝3， 第一种情况，两焦点连线段F1F2为直角边，则假设PF₂为另一个直角边且设为x，因为|PF|+|PF₂|＝2a＝10，所以斜边PF为（10﹣x），直角边FF₂＝2c＝6．由勾股定理列出方程（10﹣x）2﹣x2＝62，解得x为； 第二种情况，两焦点连线F1F2为斜边，设P（x，y），则|PF2|＝5x，|PF1|＝5x ∵|F1F2|＝6，∴（5x）2+（5x）2＝36，方程无解， 故答案为：． 双曲线上任意一点P与两焦点F1、F2构成的三角形:，如下图所示：则. 推导过程：-|=2a① 4c2=2+2-2cos② ③，联立①②③即可得结论. （2021秋•邵阳期末）已知双曲线的两个顶点分别是A1，A2，两个焦点分别是F1，F2．P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，则有（　　） A．||PF1|﹣|PF2||＝4 B．若，则 C．直线PA1，PA2的斜率之积等于 D．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有8个 【分析】由双曲线的定义可判断A不正确；利用向量的数量积计算判断B；化简斜率乘积推出结果判断C；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断D． 【解答】解：由双曲线可得a2＝16，b2＝9，所以a＝4，b＝3，c5， 对于A．由双曲线的定义得，||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，故A不正确； 对于B．若•x0²+y0²﹣16＝9，则x0²+y0²＝25＝c²，从而•x0²+y0²﹣c²＝0，故B正确； 对于C．设P（x0，y0），则1，所以 k•k，故C不正确； 对于D．若P在第一象限，则当PF1＝2c时，|PF2|＝2c﹣2a，△PF1F2为等腰三角形；当|PF2|＝2c时，|PF1|＝2c+2a，△PF1F2也为等腰三角形； 因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P有八个，故D正确． 故选：BD． （2021•淄博三模）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（　　） A．△PF1F2可能是正三角形 B．P到两渐近线的距离之积是定值 C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为8 D．在△PF1F2中， 【分析】由双曲线定义判断A；设P（x0，y0），由P在双曲线上，结合点到直线的距离公式判断B；由勾股定理列式求解|PF1|、|PF2|，代入三角形面积公式判断C；求解焦点三角形，结合双曲线定义判断D． 【解答】解：由双曲线方程可得，a＝3，b＝4，c＝5， 由双曲线定义可知，|PF1|＝|PF2|+2a＞|PF2|， ∴△PF1F2不可能是正三角形，故A错误； 设P（x0，y0），则，即， 双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，P到两渐近线的距离之积为： 为定值，故B正确； 由PF1⊥PF2，得，即， 解得，， ∴，故C错误； 设P（x0，y0），则sin，sin， 在△PF1F2中，， 故sin， 则，故D错误． 故选：B． 一．选择题（共6小题） 1．（2021秋•商洛期末）已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知椭圆半焦距c的值，再由三角形面积可得椭圆a，b的数量关系，进而求出椭圆方程． 【解答】解：因为椭圆C的右焦点为，所以 因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为， 所以． 结合