数列-【考前终极复习】高考剖析及2022年高考数学备考指南

“数列”高考剖析及2022年备考指南 目录 一、考查内容分析 1 二、命题思路分析 2 基本问题1:判定数列为等差(比)数列. 2 基本问题2:求解等差(比)数列. 10 基本问题3:求数列的通项公式. 16 基本问题4:求数列的前n项和. 20 基本问题5:数列与不等式. 29 基本问题6:数列模型的应用 35 三、复习建议 41 1.熟悉六个基本问题 41 2.掌握两类基本数列模型 41 3.加强用函数观点思考数列问题 41 “数列”高考剖析及2022年备考指南 通过对2021年高考数学中的数列试题进行命题分析,归纳出这类试题的基本问题,总结这些基本问题中的思路.在分析试题向基本问题转化的过程中,揭示命题意图,强调考查的基本方法与思想,并基于此给出复习建议. 一、考查内容分析 2021年高考数学全国甲卷、全国乙卷、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷中的数列试题的题型、题号、分值与考查内容如下表所示. 文科 单选题 9 5 等比数列;等比数列的前n项和;等比数列的性质 解答题 18 12 等差数列;前n项和;等差数列的性质 理科 单选题 7 5 等比数列前n项和;递增数列;充要条件 解答题 18 12 等差数列;等差数列的前n项和;命题 文科 解答题 19 12 等差数列;前n项和;证明不等式 理科 解答题 19 12 等差数列;前n项和;通项公式 填空题 16 5 等比数列;错位 相减求和 解答题 17 10 等差数列;前n项和;通项公式 单选题 12 5 等比数列;前n项和 解答题 17 10 等差数列通项公式;前n项和;解不等式 单选题 6 4 等差数列;等差中项 单选题 10 4 递增数列;等差数列;解不等式 解答题 21 15 新定义;集合;数学归纳法 解答题 19 15 等差数列;等比数列;通项公式;证明不等式 填空题 8 5 无穷等比数列;数列各项和 填空题 12 5 递推数列;数列的和 解答题 19 14 等差数列、等比数列模型的应用 单选题 10 5 递推数列;前n项和;比较大小 解答题 20 15 前n项和;数列通项;参数的变化范围 数列是高中数学的基本模型,也是高考考查的重要内容.从上述表格中我们可以得出2021年高考“数列”专题的考查内容有以下一些特点. (1)所有试卷均把数列作为必考内容,分数在12~23分,施行新高考的试卷比重较大,北京卷在本专题中的分数比重最大. (2)考查题型有单选题、多选题(只在新高考试卷中出现)、填空题与解答题,每份试卷的解答题中均有数列试题,全国卷中的数列试题难度均为中等或偏易,独立命题试卷中的数列试题也有出现在压轴题的位置的情况. ((3)考查内容有:数列的通项;数列的前n项和,各项和(上海卷);等差(比)数列;等差(比)数列的性质;递推数列;数列通项与前n项和的关系;证明与数列有关的不等式或求与数列有关的不等式的解;求参数的变化范围;数列模型的应用;定义新数列. 2021年高考数列试题重点考查的思想方法与关键能力有:函数与方程思想;分类讨论思想;等价转化思想;元的思想;数学运算能力;逻辑推理能力. 二、命题思路分析 数列是高中数学的重要内容,作为特殊的函数模型,数列的学习可以帮助学生进一步理解函数,发展学生的数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象等素养.在2021年高考数学试卷中,对“数列”专题的考查符合《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《标准》)的要求,对教学起着指导和启发作用.数列试题形式多样,但是加以分析与归纳,不难发现,以下基本问题在数列试题中经常出现. 基本问题1:判定数列为等差(比)数列. 等差数列和等比数列是最基本的数列模型,所以基本问题1就成为数列试题中最基本的问题,每份试卷均会涉及此基本问题. 一个数列是否为等差(比)数列,通常是用定义进行判定,也可以通过数列的通项公式、递推公式或前n项和公式帮助判定 例1(全国甲卷•文18)记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列,证明:是等差数列. 拓展题1.记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列. (1)证明:是等差数列. (2)若,证明:. 拓展题2.已知数列中,,,前项和为,且当,时,. (1)证明:数列为等差数列; (2)记,求. 例2(全国甲卷·理18)已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列是等差数列;②数列是等差数列;③. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 拓展题1.已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列是等比数列; ②数列是等比数列; ③. 拓展题2.已知数列的前项和为,数列的前项和为,从下面①②③中选