高考倒计时6天 数学思想 解题之魂(一)-【高考领航】2022高考文科数学考前特训30天

哲理励志： 把一件事干到底就会成功！如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就只能是死水一潭． (一)函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(方程组或不等式组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的． 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的． 1．借助函数关系解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． [应用1]　已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是________． 计算cos2θ的最小值，其关键是把cos2θ表示为t或cos x的函数关系，此题有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平． 2．转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． [应用2]　已知函数h(x)＝xln x与函数g(x)＝kx－1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A.　　　 B． C．(1，e－1] D．(1，＋∞) 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝＋ln x的单调性巧妙地求出实数k的取值范围．此法也叫主元法． 3．构造函数关系解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分挖掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移． [应用3]　若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0 C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0 解答本题的关键点：(1)对于结构相同(相似)的不等式，通常考虑变形，构造函数；(2)利用指数函数与对数函数的单调性得到x，y的大小关系及ln(y－x＋1)的符号． 4．建立方程(组)形式解决问题 分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面． [应用4]　已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系，得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率． 5．转换方程形式解决问题 把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面． [应用5]　已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值． 此题可运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值． [总结升华] 函数与方程思想在解题中主要涉及的知识 (1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解； (2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解； (3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决； (4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程