高考倒计时5天 数学思想 解题之魂(二)-【高考领航】2022高考文科数学考前特训30天

哲理励志： 别以为自己已经很努力了，比你努力的人多得是．在这个充满竞争的社会里，别人努力，你就得更努力． (一)分类讨论思想 在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“一分一合”解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法． 分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用． 1．由概念、法则、公式引起的分类讨论 [应用1]　等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为(　　) A．－3　　　　　　　　 B．1 C．－3或1 D．1或3 本题易忽略对q＝1的情况进行讨论，而直接利用Sn＝(q≠1)，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论． 2．由运算、性质引起的分类讨论 [应用2]　已知a＞0，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1， 则(　　) A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0 C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0 应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一． 3．由参数变化引起的分类讨论 [应用3]　已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.讨论f(x)的单调性． 1．本题研究函数单调性对参数k进行分类讨论，分为k＝0，k＜0和k＞0三种情况． 2．若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏． 4．根据图形位置或形状分类讨论 [应用4]　设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．证明：∠ABM＝∠ABN. 1．本题中直线l的位置不确定，设直线方程时，应分两种情况讨论． 2．根据图形位置或形状使用分类讨论的关键点 (1)确定特征：一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定； (2)分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类； (3)得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理． [总结升华] 1．分类讨论的原则 (1)不重不漏； (2)标准要统一，层次要分明； (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2．分类讨论的本质与思维流程 (1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”； (2)分类讨论的思维流程： 明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)． (二)转化与化归思想 “抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现． 转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等． 1．正与反的转化 [应用1]　若对任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________． 1．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则． 2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中． 2．常量与变量的转化 [应用2]　已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对任意a∈[－1，1]都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为________． 1．本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这样会很烦琐，若以a为主元，即将原问题化归在区间[－1，1]上，一次函数φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5＜0成立的x的取值范围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决． 2．在处理多变