专题2.7 相交线与平行线章末重难点突破-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版）【学科网名师堂】

专题2.7 相交线与平行线章末重难点突破 【北师大版】 【考点1 相交线中运用方程思想求角】 【例1】（2021春•武昌区期中）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°． （1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度数； （2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数． 【分析】（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD∠COD可得∠BOD的度数，然后根据邻补角互补可得答案； （2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数． 【解答】解：（1）∵∠MON＝70°， ∴∠COD＝∠MON＝70°， ∴∠BOD∠COD， ∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°； （2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°， ∵∠COD＝∠MON＝70°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°， ∵∠AOD＝2∠BOD， ∴x+70＝2（3x﹣70）， 解得x＝42， ∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°， ∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°． 【变式1-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）． （1）求∠AOE的度数； （2）请写出∠AOC在图中的所有补角； （3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数． 【分析】（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，列方程即可得到结论； （2）根据补角的定义即可得到结论； （3）如图，当OP在CD的上方时，当OP在CD的下方时，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x， ∵∠AOE的余角比∠DOE小10°， ∴90°﹣4x＝x﹣10°， ∴x＝20°， ∴∠AOE＝80°； （2）∠AOC在图中的所有补角是∠AOD，∠BOC，∠BOE； （3）∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°， ∴∠AOD＝100°， ∴∠AOC＝80°， 如图，当OP在CD的上方时， 设∠AOP＝x， ∴∠DOP＝100°﹣x， ∵∠COP＝∠AOE+∠DOP， ∴80°+x＝80°+100°﹣x， ∴x＝50°， ∴∠AOP＝∠DOP＝50°， ∵∠BOD＝∠AOC＝80°， ∴∠BOP＝80°+50°＝130°； 当OP在CD的下方时， 设∠DOP＝x， ∴∠BOP＝80°﹣x， ∵∠COP＝∠AOE+∠DOP， ∴100°+x＝80°﹣x， ∴x＝50°， ∴∠BOP＝30°， 综上所述，∠BOP的度数为130°或30°． 【变式1-2】（2020春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF． （1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数； （2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系； （3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由． 【分析】（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可； （2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可； （3）根据（1）（2）解答即可． 【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°， ∵OC平分∠AOF， ∴， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°； （2）∵∠AOE＝x°， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°， ∵OC平分∠AOF， ∴， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴； ∴∠AOE＝2∠BOD； （3）不变，∠AOE＝2∠BOD． 【变式1-3】（2020秋•南岗区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD． （1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°； （2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF； （3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数． 【分析】（1）由垂直的定义及角度的和差计算可得； （2）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得； （3）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，