专题14 与圆有关的最值问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题14 与圆有关的最值问题 (1) 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法: 一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解,注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离. (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法: 形如=y-bx-a型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题； 形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值问题. (2) 与距离最值有关的常见的结论: ①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r,最远为|AO|+r； ②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦； ③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r； ④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. ⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离； ⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. (4)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解. 典例1（2021秋•菏泽期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC，点B（﹣1，1），点C（3，5），过其“欧拉线”上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过P作切线PM，PN，则有PM＝PN且OM⊥PM，ON⊥PN，连接OP，MN，设OP与MN交于H，由PM＝PN，OM＝ON得OP⊥MN，设O到MN距离为d，即OH＝d，则MN＝2，当d最大时MN最小．设∠POM＝θ，则在△OMP中，cosθ，在△OHM中cos，这样，d，当OP最小时，d最大，从而MN最小． 【解答】解：因为AB＝AC， 所以BC边上的垂线，中线，中垂线为一条， 设BC中点为D，则AD即为“欧拉线”． 由B（﹣1，1），点C（3，5），得D（1，3） kBC1，所以kAD＝﹣1， AD：y﹣3＝﹣1×（x﹣1），化简得 y＝﹣x+4． OP⊥MN，设O到MN距离为d，即OH＝d． 设∠POM＝θ，则在△OMP中，cosθ，在△OHM中cos， 所以，得 d． OP⊥AD时，OP最小． O（0，0），OP最小值为2， 所以d最大值为． MN＝2，当d最大时MN最小， 所以MN最小值为22． 故选：B． 典例2（2021秋•新疆期末）已知A（﹣2，0），B（4，0），在直线l：4x+3y+m＝0上存在点P，使PA⊥PB，则m的最大值是 　　． 【分析】先求出以AB为直径的圆的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：∵A（﹣2，0），B（4，0）， ∴以AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝9， ∵在直线l：4x+3y+m＝0上存在点P，使PA⊥PB， ∴直线l与圆有公共点， ∴圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得﹣19≤m≤11， 故m的最大值为11． 故答案为：11． 1．（2022•南昌一模）已知A（﹣1，0），B（3，0），P是圆O：x2+y2＝45上的一个动点，则sin∠APB的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及利用导数研究函数的单调性，即可求解． 【解答】解：设P（m，n）， 则m2+n2＝45，其中，， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， AP，， 由余弦定理可得，cos∠APB， ∴， 记y（）， y'， 令y'＞0，解得，令y'＜0，解得， sin∠APBmin． 故选：D． 2．（2021秋•新昌县期末）已知MN为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0上长度为4的动弦，点P是直线l：x﹣y+3＝0上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过圆心C作CD⊥MN，由已知求得|CD|，再求出圆心到直线x﹣y+3＝0的距离，求得||的最小值，再由||＝2||求解． 【解答】解：如图， 圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5， P为直线x﹣y+3＝0的上的任意一点， 过圆心C作CD⊥MN，由|MN|＝4，可得|CD|1， 又||＝2||，∴的最小值即为||的最小值， 即点D到直线l的距离为||的最小值，此时PDC在一直线