2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练） 复合函数的导数求法： ①换元，令（内函数），则（外函数） ②分别求导再相乘 ③回代 规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数 例：1．设，则（       ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出函数的导函数，再代入计算可得； 【详解】 解：因为，所以，所以； 故选：A 2．设，，，…，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项. 【详解】 ，， ，， ，……，以此类推， ，所以. 故选：B 3．函数，其导函数为函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案. 【详解】 ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 4．函数在点处的切线方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】 由题意，函数，可得， 则且， 所以在点处切线方程是，即． 故答案为：. 5．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【解析】 【分析】 根据复合函数的求导方法进行逐一求解即可. (1)由； (2)由； (3)由； (4)由 举一反三： 1．已知函数，那么的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接求导，代入计算即可. 【详解】 ，故. 故选：D. 2．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用新定义：存在使得，则称是的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可． 【详解】 对于A，，则，令，解得或，即有解，故选项A的函数有“巧值点”，不符合题意； 对于B，，则，令，令，则g(x)在x＞0时为增函数，∵(1)，(e)，由零点的存在性定理可得，在上存在唯一零点，即方程有解，故选项B的函数有“巧值点”，不符合题意； 对于C，，则，令，故方程无解，故选项C的函数没有“巧值点”，符合题意； 对于D，，则， 令， 则. ∴方程有解，故选项D的函数有“巧值点”，不符合题意． 故选：C． 3．已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】 根据给定条件，两边求导再赋值计算得解. 【详解】 函数，求导得：函数， 当时：，解得， 所以. 故答案为： 4．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】 【分析】 （1）利用复合函数及求导乘法法则进行计算；（2）利用复合函数及求导加法法则进行计算；（3）利用复合函数及求导乘法法则进行计算；（4）利用复合函数及求导减法，除法法则进行计算. (1) (2) (3) (4) 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移，其中t为时间，A为振幅，为常数. (1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系. 【答案】(1)； (2)； 【解析】 【分析】 （1）物体的速度关于时间的函数，即位移时间的函数的导函数；物体的加速度关于时间的函数，即速度关于时间的函数的导函数；分别求出对应函数的导数即可. （2）由（1）可得位移与加速度的关系；由可得速度与加速度的关系. (1) 物体的速度关于时间的函数，即位移时间的函数的导函数. 设速度为，则由 所以 物体的加速度关于时间的函数，即速度关于时间的函数的导函数.设加速度为 由，则 (2) 由（1）可得位移与加速度的关系： 速度与加速度的关系： 所以 即 巩固提升 一、单选题 1．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出的导函数，再求出的值即可． 【详解】 解：， . 故选：A． 2．下列关于函数的复合过程与导数运算正确的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数，即可得解. 【详解】 由复合函数求导法则，知函数由基本初等函数，复合而成， 所以. 故选：C. 3．已知与曲线相切，则a的值为（       ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意设出切点坐标，进而对函数求导，然后根据导数的几何意义求得答案. 【详解】 由题意，设切点为，所以，，所以，所以，则. 故选：B. 4．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益