2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册

2.2导数的概念及其几何意义(讲义+典型例题+小练) 一.导数的定义: 2.利用定义求导数的步骤: ①求函数的增量:;②求平均变化率:; ③取极限得导数: 例1:1.设,则曲线在点处的切线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 根据导数的概念可得,再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为, 所以,则曲线在点处的切线斜率为, 故所求切线的倾斜角为. 故选:C 2.已知函数在处的导数为1,则( ) A.0 B. C.1 D.2 【答案】B 【分析】 由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】 解:因为函数在处的导数为1, 则. 故选:B. 【点睛】 本题考查导数的概念,涉及极限的性质,属于基础题. 举一反三: 1.设是可导函数,且,则( ) A.2 B. C.1 D. 【答案】D 【分析】 由导数的定义可得,即可得答案. 【详解】 根据题意,, 故. 故选:D. 【点睛】 本题考查导数的定义,属于基础题. 2.若,则_. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据导数的几何定义即可计算. 【详解】 . 故答案为:1. 二.导数的几何意义: 函数在处导数的几何意义,曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是:。 注意两种情况: (1)曲线在点处切线:性质:。相应的切线方程是: (2)曲线过点处切线:先设切点,切点为 ,则斜率k=,切点 在曲线上,切点在切线上,切点坐标代入方程得关于a,b的方程组,解方程组来确定切点,最后求斜率k=,确定切线方程。 例2:1.函数在处导数的几何意义是( ) A.在点处的斜率 B.在点处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点 与点连线的斜率 D.曲线在点 处的切线的斜率 【答案】D 【分析】 利用导数的几何意义即可得出. 【详解】 解:的几何意义是在切点处的切线斜率. 故选:D. 【点睛】 考查导数的几何意义,属于基础题. 2.设为可导函数,且满足条件,则曲线在点处的切线的斜率为( ) A.10 B.3 C.6 D.8 【答案】A 【分析】 根据导数的概念,先得到,再由导数的几何意义,即可得出结果. 【详解】 因为,所以, 即, 因此曲线在点处的切线的斜率为. 故选:A. 【点睛】 本题主要考查导数的概念,以及导数的几何意义,属于基础题型. 举一反三: 1.已知函数f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 由图可知:, 即. 故选:B 【点睛】 本题考查了导数的几何意义,考查了数形结合的思想,属于基础题. 2.设函数在上存在导函数,的图象在点处的切线方程为,那么( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】 求出即得解. 【详解】 解:由题得,, 所以. 故选:C 课外阅读 导数的物理意义 1.求瞬时速度:物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数, 即有。 2. V=s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 例:1.已知物体做直线运动的方程为,则表示的意义是( ) A.经过4s后物体向前走了10m B.物体在前4秒内的平均速度为10m/s C.物体在第4秒内向前走了10m D.物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导函数的定义判断可得选项. 【详解】 解:由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s. 故选:D. 2.一杯80℃的热茶置于客厅桌面上,热茶的温度T(单位:℃)随着时间t(单位:min)的增加而逐渐下降.设T与t的函数关系为,若,试解释其实际意义. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 利用导数的实际意义即可解题. 【详解】 由题意可知,-3的实际意义为第3min时,杯子中的热茶温度下降的速度为3℃/min. 巩固提升 一、单选题 1.已知函数在处的导数为,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数的定义即可求解. 【详解】 根据题意,. 故选:C 2.已知曲线在点处的切线方程是,则与的值分别为( ) A., B., C., D., 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义,结合切线方程可计算得与. 【详解】 由题意可知,,. 故选:D 3.函数的图象如图所示,为函数的导函数,下列数值排序正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 过点作切线,过点作切线,连接,得到直线,由导数的几何意义可知(2)(3),整理可得答案. 【详解】 过点作切线,过点作切线,连接,得到直线, 由图可知,的斜率的斜率的斜率, 即(2)(3), 即(3)(3)(2)(2), 故选:B. 4.已知函数在处的导数为,则( ) A.