特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练） 同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有相同结构的两个代数式称为同构式。 例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。 第一类：常见类型同构函数 (1) 构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑. (2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式； 构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式. (3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式. (4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式. 例1： 1.已知函数的图像关于轴对称，且当时，成立，若，，，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 解析：设，则. 因为时，，所以,则当时，单调递减. 又因为函数的图像关于轴对称，所以为奇函数，当时，单调递减. 又因为，，，则，即答案为A. 2.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数. 3.已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 解析：设， 则. 因为，所以,则在定义域上单调递增，所以, 则，即答案为A. 4.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立且为自然对数的底，则（ ） A. B. C. D. 解析：设， 则. 由，得，则,在定义域上单调递减，所以, 即答案为A. 举一反三： 1.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的取值范围（ ）. A. B. C. D. 解析：设， 则. 因为时，，所以,即当时，单调递减. 又因为为奇函数，且，所以为偶函数，且, 则当时，单调递增. 当时，，. 当时，，. 所以成立的取值范围 ，即答案为A.. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析. 2.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 解析：因为，所以，. 由， 得 设， 则，可得, 则在定义域上单调递减， 所以, 则，即答案为A. 3.已知函数的图象关于y轴对称,且当成 立，，,则a,b,c的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 解：因为函数关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,所以当时,,函数单调递减,当时,函数单调递减.因为,,,所以,所以,选A. 4. 已知为上的可导函数，且，均有，则有 A．， B．， C．， D．， 解：构造函数则， 因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，所以，即 也就是，故选D． 5. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）A. B. C. D. 解：构造新函数, 则， ，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D. 二、指对数同构 ① ②来进行研究 ③ ④ ⑤ 指对互化关系 同构转化关系：已知含有则可同构转化如下 (同左边),则构造函数 (同右边),则构造函数 (取对数),则构造函数 例2：1.设实数λ＞0，若对任意的x∈（e2，+∞），关于x的不等式λeλx﹣lnx≥0恒成立，则λ的最小值为：　　． 分析：λeλx﹣lnx≥0 令 2.不等式的解集为：　 ． 分析：， 故不等式的解集为 3.已知对任意给定的的取值范围为：　 ． 分析： 显然成立， 显然 . 注释：本题逻辑关联词较多，首先处理逻辑关联词我们遵循就近原则优先处理，即优先处理离 较近的逻辑关联词，按照逻辑关联词出现的相反顺序进行处理，比如本题，我们要先处理存在一方的变量上有解即可，故而得到求导还要借助隐零点处理过程也不简单.仔细观察发现，不等式两边同乘，可以利用同构来进行处理，接着就可以参变分离了，借助恒成立问题处理策略，即可使问题得以解决! 4.已知方程的取值范围是： ． 分析：由