2.6.1函数的单调性（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6.1函数的单调性（讲义+典型例题+小练） 函数的单调性：设函数在某个区间内可导， （1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。 （3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性： 步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号 (3)下结论 ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 例1：已知函数，且. （1）求的值； （2）判定的奇偶性； （3）判断在上的单调性，并给予证明. 答案．（1）1；（2）奇函数；（3）增函数，证明见解析. 【分析】 （1）利用代入可求； （2）利用奇偶性定义进行判定，可得是奇函数； （3）利用导数进行证明. 【详解】 （1）因为，所以. （2）因为 所以为奇函数. （3）因为 所以在为增函数. 【点睛】 本题主要考查函数性质，奇偶性判定一般是利用定义来进行，单调性判定可以使用导数或者定义来进行. 举一反三 1.已知向量，若函数在区间上是增函数，求 的取值范围. 1． 【分析】 先求出，则在上恒成立，可用参变分离求参数的取值范围. 【详解】 由题意知： ，则 ， ∵在区间上是增函数，∴在上恒成立， 即在区间上是恒成立， 设，则，于是有 时，的值域为，故. 【点睛】 一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则． 题型二、利用导数求单调区间 求函数单调区间的步骤为： （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间 例2：1.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 答案．C 【分析】 求导，根据可解得结果. 【详解】 ，由得，即， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 2.求函数的单调区间． 答案：增区间为，减区间为. 【解析】 【分析】 求函数导数，根据导函数为正得增区间，导函数为负得减区间. 【详解】 由得， 令，即，得，从而， 令，即，得，此时为增函数，又，得增区间为， 令，即，得，此时为减函数，减区间为. 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解题时要注意函数的定义域，属于基础题. 举一反三 1．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 5．D 【分析】 求导，，由即可得解. 【详解】 函数的定义域是，， 令，解得， 故函数在上单调递减， 选：D. 【点睛】 本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题. 2.求函数的递减区间. 答案： 【分析】 对函数进行求导，解不等式得递减区间. 【详解】 ∵， ∴令，解得. ∴函数的递减区间为. 【点睛】 本题主要考查了导数与函数单调性的关系，属于基础题. 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。 例3：1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．A 【分析】 由函数的单调性与导数的关系得出在区间上恒成立，将问题转化为求，即可得出答案. 【详解】 在区间上恒成立，则在区间上恒成立 即 故选：A 2．已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 5．（1）；（2）3. 【分析】 （1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】 （1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 举一反三 1.函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________． 13．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】 试题分析：函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或 考点：函数单调