[名校联盟]广东省佛山市中大附中三水实验中学九年级数学上册课件：第三章 圆的基本性质（12份）

圆的对称性 一、圆的对称性 将圆沿一条直径对折，两个半圆能够完全重合，这说明圆是轴对称图形。 圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴 （或者说，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴）。 二、与圆有关的概念 1、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 如图，弧AB，弧AC，等等。Zx````xk 弧AB，记作： ， 大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 劣弧用两个字母表示，优弧通常用三个字母表示； 如上图， 和 分别表示劣弧AD和优弧ACD. 2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。 如上图，线段AB、线段CD是圆O的两条弦。 圆的直径是圆中最大的弦。 3、弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 如图，OE是弦CD的弦心距。 ． ． ． ． O D C B A AB ︵ ACD ︵ AD ︵ E 垂径定理 如图，AB是⊙O的直径，MN是弦，MN⊥AB，垂足为P， （1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）由对称的性质，你能发现图中哪些 等量关系？并说明你的理由。Zx```xk 一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分这条弦所对的两条弧。 如图，∵AB是⊙O的直径 MN⊥AB ∴ MP=NP = = 例1、如图，已知⊙O的弦AB=8cm，圆心 O到弦AB的距离OE=3cm，求⊙O的面积。 解：连接OA, 在Rt△ABC中， ∴ ⊙O的面积=25 ∵ 0E⊥AB ∵0A2=OE2+AE2 ∴ AE=BE=4 ∴OA=5 ． N M B A O P AM ⌒ AN ⌒ BM ⌒ BN ⌒ ． E O B A 例2、如图，已知OP是⊙O的半径， AB是弦，OP⊥AB于M，AB=8， MP=2，求⊙O的直径。 解：连接OA, 在Rt△ABC中， 则42+（R-2）2=R2 ∵ 0M⊥AB ∵0A2=OE2+AE2 ∴R=5 ∴ AM=BM=4 设⊙O的半径为R ∴ ⊙O的直径为10 二、垂径定理的推论 如图，AB是⊙O 一条非直径的弦，M是AB的 中点，直径CD经过点M，那么CD⊥AB吗？ 如果AB与CD都是直径，那么还CD⊥AB吗？ = 吗？ = 吗？ 垂径定理的推论： 平分弦（非直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ． P O B A M ． M O D C B A ． O D C B A ． O B A C D AD ⌒ AC ⌒ BC ⌒ BD ⌒ 如图（1）D、C分别是 和优弧 的中点 ， 那么，CD是圆的直径吗？CD⊥AB吗？CD平分 AB吗？ 如图（2）AB是⊙O的弦，P是AB的中点， MN⊥AB，那么，MN是圆的直径吗？M、N分 别是优弧 和 的中点吗？ 三、垂径定理的推广： 在（1）过圆心，（2）垂直弦，（3）平分 弦(非直径)，（4）平分弦所对的优弧，（5） 平分弦所对的劣弧这五个条件中，如果具备其 中任意两个，那么就具备其它三个。 我们把垂径定理及其推论概括为“知二推三”。 C D A B 图（1） AB ⌒ AB ⌒ M N A B 图（2） P AB ⌒ AB ⌒ 例3、求作已知弧的中点。 例4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 （即图中弧CD,点O是弧CD的圆心），其中 CD=600m，E是 上一点，且OE⊥CD，垂 足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。 例5、如图，AD是⊙O 的直径，弦BC垂直 平分半径OD，连接AB、AC, 求证：△ABC是等边三角形；zx```xk CD ⌒ E C O D F ． O D C B A $$ 垂径定理的运用 一、基础训练 1、已知⊙O的弦AB=8，AB到圆心O的距离为3，则⊙O的直径 是 ； z```xxk 2、在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相交于C、D，若AC=3