专题11 指数式与对数式的大小的比较-备战2022年高考数学命题意图揭秘（江苏，山东等新高考地区专用）

专题11指数式与对数式大小的比较 一、五年真题展示 1. (2021新高考全国卷Ⅱ) 已知,,,则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 2.(2021全国卷Ⅰ)设,,.则 ( ) A. B. C. D. 3.(2020全国卷Ⅰ)若,则 ( ) A. B. C. D. 4.(2020全国卷Ⅱ)若,则 ( ) A. B. C. D. 5.(2020全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则 ( ) Aa<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b 6.(2019全国卷Ⅲ)设是定义域为的偶函数,且在单调递减,则 ( ) A. B. C. D. 7.(2018全国卷III)设,,则( ). A. B. C. D. 8.(2017全国卷Ⅰ卷)设为正数,且,则 ( ) A. B. C. D. 二、命题意图揭秘 指数式与对数式大小的比较一直是高考的热点,容易一点的试题一般是直接给出3个指数式或对数式,利用指数函数、幂函数或对数函数的单调性比较大小,如《五年真题展示》T1,复杂一点的需要先利用指数与对数的运算,对所给式子进行恒等变形,然后再利用函数性质比较大小,如《五年真题展示》T7,T8,近两三年又出现了一种新的命题方式,就是给出两到三个比较的式子,要先通过观察式子的结构,根据式子结构构造函数,再利用所构造的函数的性质比较大小,如《五年真题展示》T2,T3,T4,此类问题难度比较大,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力。 三、重点知识与方法整合 1.底数对指数函数的影响如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,要比较底数a,b,c,d与1之间的大小,可作直线,由直线与四个图象交点的上下位置关系可得c>d>1>a>b.由此我们还可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大. 2.指数函数的单调性取决于底数a的大小,若,指数函数单调递减;若,指数函数单调递减;若指数函数的底数a为参数,解题时通常分和进行分类讨论. 3. 比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函 数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同,底数不同时,常用作商法或利用函数图象比 较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及特殊值. 对于 三个(或三个以上)数的大小比较,则应先根据值的大小对其分类,常将其分为三类:一 类是小于0的数,一类是大于0小于1的数,一类是大于1的数. 4.根据题中所给指数式的特点,构造指数型函数,然后利用指数型函数的性质解题,这是函数思想的应用 5.根据图象高低判断幂指数大小的方法 幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映.一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y=x0). 在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. 6. 幂函数的单调性 当α>0时幂函数在(0,+∞)上单调递增;(2)当α<0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减. 7.比较两个幂的大小,首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同,可利用指数函数的单调性;如果指数相同,可转化为底数相同,或利用幂函数的单调性,也可借助函数图象;如果指数不同,底数也不同,则要利用中间量. 8.对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 9.对于含指数式的等式,有时通过两边取对数,可以把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路. 对于含对数式的等式,有时可利用指数式与对数式之间的关系,把对数式化为指数式,这种改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路. 10. 多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 11. 比较对数式大小的类型及相应的方法:①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.②若底数不同,真数相同,则可