2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟 (北京卷) 数 学 注意事项: 1.本场考试时间120分钟,满分150分. 2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城,不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.如果复数(其中为虚数单位,为实数)为纯虚数,那么( ) A.1 B.2 C.4 D. 3.已知函数的图象在区间上连续不断,则“”是“在上存在零点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知正四棱锥的侧棱长为2,高为.则该正四棱锥的表面积为( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 6.已知等差数列,是数列的前项和,对任意的,均有成立,则的值不可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知函数,,则( ) A.最大值为2,最小值为1 B.最大值为,最小值为1 C.最大值为,最小值为1 D.最大值为,最小值为 8.如图,在三棱锥中,平面ABC,,,,则点A到平面PBC的距离为( ) A.1 B. C. D. 9.已知直线与圆相交于两点,且,那么实数k的取值范围是( ) A. B. C.或 D. 10.已知椭圆上有个不同的点,,,,.设椭圆的右焦点为,数列是公差大于的等差数列,则的最大值为( ) A.2007 B.2006 C.1004 D.1003 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 11.在二项式的展开式中,含的项的系数是_. 12.设抛物线的焦点为,则_;若点A在抛物线上,且,则点A坐标为_. 13.已知平面向量,的夹角为120°,且,,则的值为_,的最小值为_ 14.已知函数是偶函数,则的一个取值为_. 15.已知函数.若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是_ 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 在中,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)的值; (2)和面积的值. 条件①: ;条件②:. 17.(本小题13分) 如图,在四棱锥中,,,,平面. (1)试在线段上取一点使平面,请给出点的位置,并证明; (2)若点满足,求二面角的平面角的余弦值. 18.(本小题14分) “双减”政策实施以来,各地纷纷推行课后服务“5+2"模式,即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务,每天至少2小时.某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别,为了解该校学生上个月参加课后服务的情况,该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本.发现样本中未参加任何课后服务的有14人,样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下: 每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天 仅参加学业辅导 10人 11人 4人 仅参加体育锻炼 5人 12人 1人 仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人.估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率; (2)从全校学生中随机抽取3人.以频率估计概率,以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数.求X的分布列和数学期望; (3)老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导.样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.从全校学生中随机抽取3人.以频率估计概率,以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数,以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数.试判断方差、的大小关系(结论不要求证明). 19.(本小题15分) 已知函数. (1)若,求曲线在点处的切线方程; (2)若对任意,都有,求实数的取值范围. 20.(本小题15分) 已知椭圆:()上一点到两个焦点的距离之和为4,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左右顶点分别为、,当不与、重合时,直线,分别交直线于点、,证明:以为直径的圆过右焦点. 21.(本小题15分) 对于有限数列,,,,定义:对于任意的,,有: (i ); (ii )对于,记.对于,若存在非零常数,使得,则称常数为数列的阶系数. (1)设数列的通项公式为,计算,并判断2是否为数列的4阶系数; (2)设数列的通项公式为,且数列的阶系数为3,求的值; (3)设数列为等差数列,满足-1,2均为数