精品解析：安徽省六安市第一中学等校2021-2022学年高三上学期12月联考理科数学试题

三人行2021—2022届高三12月联考 数学（理）试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 4. 根据大数据统计，一新冠确诊病例在年月曾经到过某县城的共个地方，现派出组流调专家对这地进行流调．若要求每个地方至少有一组专家，且每组专家只去个地方进行流调工作，则地由组专家进行流调的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含有的项的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，若E，F分别为与线段BC的中点，圆柱的母线为4，侧面积为，则异面直线EF与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若，且的最大值为，则（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 9. 已知点O到直三棱柱各面距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13. 已知平面向量满足，且，则在上的投影为______． 14. 若实数x，y满足，则的最大值为______. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B是椭圆C上关于x轴对称的两点.若的周长的最大值为8，且的周长最大时，，则椭圆C的标准方程为______. 16. 斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．） 17. 年月日分，神舟号载人飞船成功发射，三名中国宇航员成功进入中国太空站．为了激发学生学习兴趣，某高中在学校的两个物理兴趣班进行太空知识讲座后，又进行了太空知识竞赛活动竞赛共有道选择题，每道题分（答对得分，答错或不答得分）．已知甲、乙两个物理兴趣班的学生得分都在内，成绩分布如下表所示： 得分 甲班人数 乙班人数 （1）计算并比较甲、乙两个物理兴趣班此次的平均成绩； （2）根据表中数据，计算可得乙班成绩的方差约为，比较哪个兴趣班成绩的方差较小； （3）若规定成绩不低于分为优秀，试填写下列列联表，并判断是否有以上把握认为竞赛成绩优秀与所在班级有关． 优秀 不优秀 合计 甲班 乙班 合计 参考数据： 参考公式：，其中． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面ABCD，，，点M为线段SD的中点． （1）求证：平面SBC； （2）若，求二面角的余弦值． 19. 已知数列满足，且，若，的前项和为． （1）求证：为等比数列，并求的通项公式； （2）求，并求满足不等式的最小正整数的值． 20. 已知抛物线的焦点为F，且F到直线的距离为. （1）求抛物线E的方程； （2）若正方形ABCD的边AB在直线l上，顶点C，D在抛物线E上，求. 21. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数的极值； （2）当时，求证：有且只有一个零点，且． 【选考题】 请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）