2022年中考数学专题复习：线段最值之瓜豆原理

中考数学复习线段和差最值系列之瓜豆原理 两个动点，一个动点随着另一个动点的运动而运动，通过找到两动点的轨迹，求线段最值.瓜豆原理说的是“种瓜得瓜，种豆得豆”，两点运动的轨迹性质一样. 一．轨迹之圆篇 引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． 引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 例1：如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______． 【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹． 当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．最小值为. 二．轨迹之线段篇 引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 【模型总结】 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论： P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN） 例2：如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值． 【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹． 根据∠ABP=60°可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=． 练习题 1.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以