考点13 三角形—2022年中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点13 三角形 课标对考点的要求 对三角形问题,中考命题需要满足下列要求: (1)理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念,了解三角形的稳定性。 (2)探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。 (3)理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。 (4)掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 (5)掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 (6)掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。 (7)证明定理:两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。 (8)探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 (9)理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 (10)了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°,及等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。 (11)了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 (12)探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。 (13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 (14)了解三角形重心的概念。 重要考点解读 一、三角形的基础知识 三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形,叫做三角形. (一)三角形中的重要线段 1.三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的分类: (1)按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 (2)按照边分类有不等边三角形和等腰三角形(等边三角形) 3.三角形三边的关系 定理:三角形任意两边的和大于第三边. 推论:三角形任意两边的差小于第三边. (1)理论依据:两点之间线段最短. (2)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围. (3)证明线段之间的不等关系. 4.三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高. 三角形的高的数学语言: 如下图,AD是ΔABC的高,或AD是ΔABC的BC边上的高,或AD⊥BC于D,或∠ADB=∠ADC=∠90°. 注意:AD是ΔABC的高∠ADB=∠ADC=90°(或AD⊥BC于D); (1)三角形的高是线段; (2)三角形有三条高,且相交于一点,这一点叫做三角形的垂心; (3)三角形的三条高: (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部,三条高的交点也在三角形内部; (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部,且三条高的交点在三角形的外部; (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 5.三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线. 三角形的中线的数学语言: 如下图,AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD=CD=BC. (1)三角形的中线是线段; (2)三角形三条中线全在三角形内部; (3)三角形三条中线交于三角形内部一点,这一点叫三角形的重心; (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 6.三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言: 如下图,AD是ΔABC的角平分线,或∠BAD=∠CAD且点D在BC上. 注意:AD是ΔABC的角平分线∠BAD=∠DAC=∠BAC (或∠BAC=2∠BAD=2∠DAC) . (1)三角形的角平分线是线段; (2)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的内部; (3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点,这一点叫做三角形的内心; (4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 知识点四:三角形的稳定性 三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 (二)与三角形内角外角有关的问题 1.三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。 2.推论: ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个