考点17 定义、命题、定理—2022年中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点17 定义、命题、定理 课标对考点的要求 对定义、命题、定理 问题,中考命题需要满足下列要求: (1)通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义。 (2)结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。 (3)知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道证明的过程可以有不同的表达形式,会综合法证明的格式。 (4)了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 (5)通过实例体会反证法的含义。 重要考点知识解读 一、定义与命题 1.一般地,对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义. 2.判断一件事情的语句叫做命题. 3.命题的组成:命题是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. 4.命题的表达形式:命题可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论. 二、真命题、假命题 1.正确的命题叫做真命题. 2.要说明一个命题是正确的,需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明(推理、证明). 3.要说明一个命题是假命题,只需举一个反例即可. 三、逆命题 1.把原命题的结论作为命题的条件,把原命题的条件作为命题的结论,所组成的命题叫做原命题的逆命题. 2.在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题. 3.正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论. 4.每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题. 四、公理与定理 1.如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理. 2.如果一个命题可以从公理或其他命题出发,用逻辑推理的方法判断它是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的命题叫做定理. 3.公理和定理都是真命题,都可作为证明其他命题是否为真命题的依据. 4.由定理直接推出的结论,并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论. 五、互逆命题 1.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 2.任何一个命题都有逆命题,而一个定理并不一定有逆定理. 3.角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理. 六、反证法 1.定义:假设命题的结论不成立,即命题结论的反面成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法. 2.反证法的步骤:①假设命题结论的反面正确;②从假设出发,经过逻辑推理,推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论;③说明假设不成立,从而得出原命题正确. 重要问题解题思维方法总结 一、定义、命题、公理和定理之间的关系 这四者都是句子,都可以判断真假,即定义、公理和定理也是命题,不同的是定义、公理和定理都是真命题,都可以作为进一步判断其他命题真假的依据,而命题不一定是真命题,因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。 一个命题的正确性需经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明。 证明的依据:可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实或定理等。 二、证明命题基本方法 (1)明确命题中的已知和求(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系) (2)根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证. (3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. 三、判断真命题、假命题的方法 1.判断语句是否为命题要抓住两条:①命题必须是一个完整的带有判断性的句子,通常是陈述句(包括肯定句和否定句),而疑问句和命令性语句都不是命题;②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断. 2.辨别命题的真假时,对命题的正确性理解一定要准确,进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义.要说明一个命题是假命题,通常可以通过举反例的方法解决.命题的反例是具备命题的条件,但不具备命题的结论的实例. 四、互逆命题与互逆定理的关系 1.如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题. 2.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,则称这两个定理互为逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 3.“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论,第一个命题的结论是第二个命题的题设. 五、对