专题14 解析几何中的最值、范围问题-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

解析几何中的最值、范围问题 【基础诊断】 （2021·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，且经过. （1）求双曲线C的方程； （2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P､Q，设P､Q中点为M，求三角形面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由离心率和点的坐标求得a，b，写出双曲线方程； （2）设直线的方程为与双曲线C方程联立，由韦达定理求出中点坐标，根据其条件求得m的范围，求出的面积表达式，根据单调性求得取值范围. 【详解】 （1）由题题意，得 ， 解得. 所以，双曲线C的方程为. （2）设直线的方程为与双曲线C方程联立： ，消元得 设P､Q两点的纵坐标为，则： ，解得. 设点M的纵坐标为，由题点M为的中点，即 所以， 易知表达式在上单调递减，故三角形面积的取值范围为. 【范例导航】 【考向一】面积、弦长相关问题 1.（2022·山西晋中·一模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且． (1)求圆的方程与椭圆的方程； (2)经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【解析】 【分析】 （1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r，即可得圆的方程，根据椭圆离心率、及椭圆参数关系求出a、b、c，即可得椭圆的方程. （2）设、、，讨论直线PA，PB斜率存在性，则直线PA为、直线PB为，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程求、，进而得直线PA为、直线PB为，结合在直线PA，PB上有AB为，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得求面积范围. (1) 由题设，圆：的圆心为， 因为直线与圆相切，则， 所以圆的方程为， 因为椭圆的离心率为，即，即， 由，则，又， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为． 综上，圆为，椭圆为. (2) 设点，，． 当直线PA，PB斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA为，直线PB为． 由，消去y得：． 所以． 令，整理得，则， 所以直线PA为，化简得：，即． 经验证，当直线PA斜率不存在时，直线PA为或也满足． 同理，可得直线PB为． 因为在直线PA，PB上，所以，． 综上，直线AB为． 由，消去y得：． 所以，． 所以． 又O到直线AB的距离． 所以． 令，，则，又， 所以△OAB的面积的取值范围为． 【点睛】 关键点点睛：第二问，设点及直线PA，PB的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA，PB的方程，由在直线PA，PB上求直线的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围. 2.（2022·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）设双曲线的半焦距为，由建立关于的方程，并求出的值，再将点坐标代入双曲线得，结合，解得，的值，即可求出双曲线的方程； （2）先设直线的方程为，再分别与双曲线的渐近线方程联立，得到，的表达式，即可求出长度的表达式，联立双曲线与直线的方程，整理成关于的一元二次方程．设，，结合韦达定理求出，的表达式，并得到的取值范围，进而求得的表达式，化简，再结合的取值范围即可求解． (1) 设双曲线的半焦距为， ∵，∴． 又，，解得，， ∴双曲线的方程为． (2) 由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， ∴． 联立得， 设，，则，， 由即， ∴， ∴ ． 又，∴，∴， ∴的取值范围为． 【点睛】 本题以双曲线为背景，考察双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属综合困难题. 【真题演练】 1.（2021全国乙卷理科21） 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆几何性质可得出关于的等式，即可解出的值； （2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为