专题13 解析几何中的定点、定值问题-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

解析几何中的 定点、定值问题 【基础诊断】 1.（2021·安徽蚌埠·三模（文））已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线． (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可； (2)设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可． (1) 虚轴长为4，，即， 直线为双曲线的一条渐近线， ，， 故双曲线的标准方程为． (2) 由题意知，，， 由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为， 设，，， 联立，得， ，， ， 直线的斜率，直线的斜率， ，为定值． 2.（2021·河北衡水中学模拟预测）已知椭圆，过椭圆右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，已知椭圆左焦点为， 的面积为，不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点为线段的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）点总满足，证明：直线过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题意电动，结合，得到，求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）设直线，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，根据，得到，利用斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】 （1）由题意，椭圆左焦点为，且过椭圆右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，可得， 因为的面积为，可得，解得， 又因为，且，可得，， 故椭圆的方程为. （2）依题可得直线的斜率存在，设直线的直线方程为， 设，，， 联立方程组，可得， 则，即， 且，， 因为，所以， 可得， 即， 整理得，解得， 所以直线的方程为， 所以直线恒过定点. 【点睛】 解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【范例导航】 【考向一】显性定值问题 1.（2022·四川绵阳·二模（理））已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值 【解析】 【分析】 （1）根据，的面积为，求得，即可得出答案； （2）设点，则点，根据在椭圆上，可得，设直线的方程为，则直线的方程为， 分别联立，求得三点的坐标，从而可得出结论. (1) 解：因为，所以， 又， 联立可得， 所以椭圆的方程为； (2) 解：设点，则点， 由题意得， 因为在椭圆上， 所以，则， 所以， 即， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立消得， 由在椭圆上， 所以，所以， 所以， 联立消得， 由点在圆上，所以，所以， 同理：， 所以， 所以， 即为定值. 【点睛】 本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度. 【真题演练】 1.（2021全国Ⅰ卷21） 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】. 【解析】设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点， 不妨直线的方程为，即， 联立，消去并整理可得， 设点、，则且. 由韦达定理可得，， 所以，， 设直线的斜率为，同理可得， 因为，即，整理可得， 即，显然，故. 因此，直线与直线的斜率之和为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【考向二】隐性定值问题 1.（2018·北京市十一学校模拟预测（文））如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率,为椭圆的左焦点,且. （Ⅰ）求此椭圆的方程; （Ⅱ）设是此椭圆上异于的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得连接并延长交直线于点为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系. 【答案】（I）；（II）相切. 【解析】 【详解】 试题分析：（1）由