专题12 圆锥曲线方程、几何性质相关小题研究-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

2022届高三数学二轮微专题18 圆锥曲线方程、几何性质相关小题研究 【基础诊断】 1.(河北省唐山市2022届高三下学期第一次模拟数学试题)已知F为双曲线的右焦点,A为双曲线C上一点,直线轴,与双曲线C的一条渐近线交于B,若,则C的离心率( ) A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意求出,,再由可求得,从而可求表示出,进而可求得离心率 【详解】 由题意得,双曲线的渐近线方程为, 由双曲线的对称性,不妨设均为第一象限点, 当时,,得,所以, 当时,,所以, 因为,所以, 所以,得, 所以, 所以双曲线的离心率为, 故选:B 2.(安徽省江南十校2022届高三下学期3月一模文科数学试题)设、是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点在上,且的面积为,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角形的面积可求得点的坐标,由此可求得的值. 【详解】 在椭圆中,,,则,所以,, ,所以,所以, 则, 故选:A. 3.(2022·全国·一模(理))设抛物线C:的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若,△ABD的面积为,则( ) A.1 B. C. D.2 【答案】A 【解析】 【分析】 画出图形,由题意可得为等边三角形,可得∥,,,然后由△ABD的面积为,列方程可求出 【详解】 如图,设准线与轴交于点, 因为,, 所以, 所以, 因为,所以为等边三角形, 所以,所以, 所以∥,, 所以,, 由抛物线定义,点到准线的距离, 所以,所以, 故选:A. 【范例导航】 【考向一】定义与标准方程 1.(2022·江西南昌·一模(文))已知中心在原点的双曲线的离心率为2,右顶点为,过的左焦点作轴的垂线,且与交于,两点,若的面积为9,则的标准方程为 【答案】 【解析】 【分析】 设出双曲线的方程,根据离心率可得,根据题意求出点M、N的坐标,进而求得,结合三角形的面积公式化简计算即可求出a,b. 【详解】 设双曲线的方程为,则, 由离心率为2,得,则, 因为直线l过点且垂直于x轴交E于点M、N, 所以点M、N的横坐标都为-c,有,解得, 所以,所以, 又,则 , 所以,故,得, 所以双曲线的方程为:. 2.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆,,为其焦点,平面内一点满足,且,线段,分别交椭圆于点A,,若,则_. 【答案】## 【解析】 【分析】 作出图像,数形结合,利用几何关系和椭圆定义得到a、b、c的关系,由求出即可得答案. 【详解】 如图所示, ,且,∴为等腰直角三角形, 又∵,∴, 又,∴,即,代入,得, 由知,代入椭圆方程解得,即, ∴﹒ 故答案为:. 【真题演练】 1.(2021·山东·高考真题)关于,的方程,给出以下命题; ①当时,方程表示双曲线;②当时,方程表示抛物线;③当时,方程表示椭圆;④当时,方程表示等轴双曲线;⑤当时,方程表示椭圆. 其中,真命题的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据曲线方程,讨论m的取值确定对应曲线的类别即可. 【详解】 当时,方程表示双曲线; 当时,方程表示两条垂直于轴的直线; 当时,方程表示焦点在轴上的椭圆; 当时,方程表示圆; 当时,方程表示焦点在轴上的椭圆. ∴①③⑤正确. 故答案为:B 2.(2021·全国·高考真题)已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】 本题通过利用椭圆定义得到,借助基本不等式即可得到答案. 【详解】 由题,,则, 所以(当且仅当时,等号成立). 故选:C. 【点睛】 椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题,常常从椭圆的定义入手,注意基本不等式得灵活运用,或者记住定理:两正数,和一定相等时及最大,积一定,相等时和最小,也可快速求解. 3.(2017·全国·高考真题(理))已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据椭圆的标准方程求出,利用双曲线,结合建立方程求出,,即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】 椭圆的标准方程为, 椭圆中的, 双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,双曲线中, 双曲线满足,即 又在双曲线中,即,解得:, 所以双曲线的方程为, 故选:A. 【点睛】 关键点点睛:本题主要考查双曲线方程的求解,根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出,,是解决本题的关键,考查学生的计算能力,属于基础题. 【考向二】几何性质 1.(河南省开封市2022届高三二模理科数学试题)设A,F分别是双曲线C:的一个顶点和焦点,过A,F分别作C的一条渐近线的垂线,垂足分别为,若,则C的渐近线方程为( ) A. B. C.