专题11 离散型随机变量的分布-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

离散型随机变量的分布 【基础诊断】 (2008·四川·高考真题(理))设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为,购买乙种商品的概率为,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求的分布列及期望. 【答案】(Ⅰ)0.5 (Ⅱ)0.8 (Ⅲ)分布列见解析.. 【解析】 【详解】 记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品, 记表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品, 记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ),故的分布列 所以 【范例导航】 【考向一】独立事件中变量的分布 1.(广东省茂名市五校联盟2022届高三下学期第三次联考数学试题)2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛,12支参赛队分为三组,每组四队,2月9号至13号将进行小组赛,小组赛采取单循环赛制,即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次,最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次.小组赛结果的确定规则如下: ①在常规时间里,获得最多进球的队为获胜者,获胜者得3分; ②在常规时间里,如果双方进球相等,每队各得1分.比赛继续进行,以突然死亡法(即在规定的时间内有一方进球)加时赛决出胜负,突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分; ③在突然死亡法加时赛中,如果双方都没有得分,那么进行点球赛,直至决出胜负,在点球赛中获胜的队将额外获得1分. 若在小组赛中,甲队与乙队相遇,在常规时间里甲队获胜的概率为,进球数相同的概率为;在突然死亡法加时赛中,甲队获胜的概率为,双方都没有得分的概率为;在点球赛中,甲队获胜的概率为,假设各比赛结果相互独立. (1)在甲队与乙队的比赛中,求甲队得2分获胜的概率; (2)在甲队与乙队的比赛中,求甲队得分的分布列及数学期望. 【答案】(1); (2)分布列见解析;. 【解析】 【分析】 (1)由题可得甲队得2分获胜有两种情况,甲在加时赛中获胜或甲在点球赛中获胜,分别计算概率即得; (2)由题可得可取0,1,2,3,分别计算概率即得分布列,然后利用期望计算公式即得. (1) 设甲在加时赛中获胜为事件A,甲在点球赛中获胜为事件B, 则, ∴甲队得2分获胜的概率为. (2) 甲队得分可取0,1,2,3, , , , , ∴的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴甲队得分的数学期望为. 2.(2021·常州·一模)19.(本小题满分12分)已知某射手射中固定靶的概率为,射中移动靶的概率为,每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分,脱靶均得0分,每次射击的结果相互独立,该射手进行3次打靶射击:向固定靶射击1次,向移动靶射击2次. (1)求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率; (2)求该射手的总得分X的分布列和数学期望. 【答案】见解析; 【解析】 【真题演练】 1.(2021八省联考19) 一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立. (1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率; (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为,求的分布列及数学期望. 【答案】(1)0.28;(2)分布列见解析,. 【解析】 【分析】 (1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值; (2)首先确定X可能的取值,然后分别求解其概率值,最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件1需要调整为事件A,部件2需要调整为事件B,部件3需要调整为事件C, 由题意可知:. 部件1,2中至少有1个需要调整的概率为: . (2)由题意可知X的取值为0,1,2,3. 且: , , . , 故X的分布列为: 0 1 2 3 其数学期望:. 【点睛】思路点晴: 求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤: (1)先分析X可取值,根据可取值求解出对应的概率; (2)根据(1)中概率值,得到X的分布列; (3)结合(2)中分布列,根据期望的计算公式求解出X的数学期望. 2.(2021全国新高考Ⅰ卷18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束:若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分:B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得