第六章 平面向量及其应用单元检测卷（能力提升）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学下学期同步精品课堂（单元复习篇，人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 (能力提升卷) 一、单选题 1.直角三角形中,是斜边上一点,且满足,点、在过点的直线上,若,,,则下列结论错误的是( ) A.为常数 B.的最小值为 C.的最小值为 D.、的值可以为, 2.在中,,,,为中点,为的内心,且,则( ) A. B. C. D. 3.已知是两个单位向量,共面的向量满足,则的最大值为( ) A. B.2 C. D.1 4.在△中,,,是边上的点,且,为△的外心,则( ) A.12 B.13 C.18 D.9 5.若的外接圆半径为2,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.在中,D为三角形所在平面内一点,且,则( ) A. B. C. D. 7.在中,角的对边分别为,已知,则的面积为( ) A. B. C. D. 8.中,若,,点满足,直线与直线相交于点,则( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.有下列说法其中正确的说法为 A.若,,则: B.若,,分别表示,的面积,则; C.两个非零向量,,若,则与共线且反向; D.若,则存在唯一实数使得 10.一般的,的夹角可记为,已知同一个平面上的单位向量满足,则的取值可以是( ). A. B.1 C.2 D. 11.已知向量,,则下列命题正确的是( ) A.存在,使得 B.当时,与垂直 C.对任意,都有 D.当时,在方向上的投影为 12.在,下列说法正确的是( ) A.若,则为等腰三角形 B.若,则必有两解 C.若是锐角三角形,则 D.若,则为锐角三角形 三、填空题 13.已知是平面向量,与是单位向量,且,若,则的最小值为_. 14.如图所示,△ABC中,AC=3,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,且PN=2PM,则△ABC面积的最大值为_. 15.在锐角三角形中,角､､的对边分别为､､,且满足,则的取值范围为_. 16.已知非零平面向量,,满足,且,若与的夹角为,且,则的模取值范围是_. 四、解答题 17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. (1)求B; (2)如图,若D为外一点,且,,,,求AC. 18.如图所示,是的一条中线,点满足,过点的直线分别与射线,射线交于,两点. (1)求证:; (2)设,,,,求的值; (3)如果是边长为的等边三角形,求的取值范围. 19.已知是线段外一点,若,. (1)设点是的重心,证明:; (2)设点、是线段的三等分点,、及的重心依次为、、,试用向量、表示; (3)如果在线段上有若干个等分点,请你写出一个正确的结论?(不必证明) 说明:第(3)题将根据结论的一般性程度给予不同的评分. 20.在中,为所在平面内的两点,,. (1)以和作为一组基底表示,并求; (2)为直线上一点,设,若直线经过的垂心,求. 21.在平行四边形中,,,.若分别是边上的点. (1)若分别是边的中点,与交于点,用和表示; (2)若满足,求的取值范围. 22.已知,是单位向量,且.若向量满足,求. 参考答案: 1.B 【解析】 【分析】 作出图形,由可得出,根据三点共线的结论得出,结合基本不等式可判断出各选项的正误,即可得出结论. 【详解】 如下图所示: 由,可得, , 若,,, 则,, , 、、三点共线, ,, 故A正确; 所以,时,也满足,则D选项正确; ,当且仅当时,等号成立,C选项成立; ,当且仅当时,即,时等号成立,故B选项错误. 故选:B 2.A 【解析】 【分析】 由题得,建立直角坐标系,求出,即得解. 【详解】 如图所示,因为,所以. 所以内切圆的半径为,所以点, 所以, 所以, 所以. 所以. 故选:A 3.C 【解析】 【分析】 先将因式分解,由此得到,利用向量运算的几何意义,用三角函数表示出,再用辅助角公式和三角函数求最值的方法,求得的最大值. 【详解】 由得:,即,设,则,则点在以为直径的圆上运动, 由图知:当时,,设,则,所以当时,取最大值, 故选C. 【点睛】 本小题主要考查平面向量的运算,考查平面向量运算的几何意义,考查三角函数求最值的方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题. 4.B 【解析】 【分析】 由向量在几何图形中对应线段,结合向量的加法得,取的中点为,连接,再由为△的外心得:、,最后根据求值即可. 【详解】 由于,则,取的中点为,连接, 由于为△的外心,则, ∴, 同理可得,, ∴. 故选:B 5.A 【解析】 【分析】 设的外接圆圆心为O,由题设可知为正三角形,则,,由,知,计算可求解. 【详解】 如图设的外接圆圆心为O, 的边,的外接圆半径为2, 为正三角形,且, 则 ,, 故选:A 【点睛】 关键点点睛:本题考查平面向量的数量积,解题的关键是将未知的通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量,本题将的