北京市西城区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷

北京西城区2022届高三数学期末试卷 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数 对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在中，若，，，则（　　） A． B．4 C． D．3 4．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．2 5．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 6．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知为等比数列，为其前项和，若，，则（　　） A．7 B．8 C．15 D．31 8．已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（　　）（参考数据：，） A． B． C． D．2 10．设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（　　） A．14 B．15 C．16 D．18 二、填空题 11．二项式 的展开式中常数项为　 　．（用数字作答） 12．已知函数是偶函数，则的一个取值为　 　. 13．在棱长为1的正方体中，过点A的平面分别与棱，，交于点E，F，G，记四边形AEFG在平面上的正投影的面积为，四边形AEFG在平面上的正投影的面积为. 给出下面四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②的最大值为2； ③的最大值为； ④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为. 则其中所有正确结论的序号是　 　. 14．已知点在抛物线上，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点.则抛物线C的方程为　 　；的面积为　 　. 15．在长方形ABCD中，，，且，则　 　，　 　. 三、解答题 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且. （1）求证：平面PBD； （2）求二面角的余弦值. 17．已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. （1）求函数的解析式： （2）设函数，若在区间上单调递减，求的最大值. 18．2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域. 北京密云 山东乐陵 河北迁西 山东庆云 北京怀柔 河北海兴 河北唐山 天津渤海A平台 河北丰南 山东长清 180毫米 175毫米 144毫米 144毫米 143毫米 140毫米 130毫米 127毫米 126毫米 126毫米 （1）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率； （2）从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望： （3）在7月13日2:00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明） 19．已知函数. （1）若，求在点处的切线方程； （2）若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 20．已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为. （1）求椭圆M的方程： （2）过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，轴于点C，轴于点D，直线BD交直线于点E，求与的面积之比. 21．已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.