专题17.4 勾股定理的应用（重点题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题17.4 勾股定理的应用 【典例1】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【思路点拨】 （1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解题过程】 解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响． 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD240（km）， ∵250＞240， ∴海港C受到台风影响； （3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口． 在Rt△CED中，由勾股定理得 ED70（km）， ∴EF＝140km， ∵台风的速度为20km/h， ∴140÷40＝3.5（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为3.5h． 1．（2021秋•阜宁县期中）中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【思路点拨】 根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【解题过程】 解：如图．设折断处离地面的高度为x尺， 则AB＝（10﹣x）尺，BC＝6尺． 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即x2+62＝（10﹣x）2， 解得：x＝3.2， 即折断处离地面的高度为3.2尺． 2．（2021秋•钢城区期末）如图，某研究性学习小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂BC之间的距离是多少？ 【思路点拨】 直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，根据勾股定理即可得出答案． 【解题过程】 解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝4（km）， ∴BC2（km）． 故学校与工厂BC之间的距离是2km． 3．（2021秋•大丰区期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度． 【思路点拨】 设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解． 【解题过程】 解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm， ∵杯子的直径为20cm， ∴杯子半径为10cm， ∴x2+102＝（x+2）2， 即x2+100＝x2+4x+4， 解得：x＝24， 24+2＝26（cm）． 答：小木棍长26cm． 4．（2021秋•金台区期末）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50m处，过了4s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为130m．这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【思路点拨】 利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解． 【解题过程】 解：由勾股定理得，BC120（米）， ∴v＝120÷4＝30（米/秒）， ∵30×3.6＝108（千米/小时）， ∴30米/秒＝108千米/小时，108＞70， ∴这辆小汽车超速了． 5．（2021秋•渭城区期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【思路点拨】 根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC＝AC，设BC＝AC＝xm，根据勾股定理求出x的值即可． 【解题过程】 解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度