考点10 二次函数—2022年中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点10 二次函数 课标对考点的要求 对二次函数问题,中考命题需要满足下列要求: (1)通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义。 (2)会用描点法画出二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质。 (3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,并能解决简单实际问题。 (4)会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。 (5)*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 重要考点解读 一、二次函数的概念: 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 二、二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x–h)2+k(a,h,k为常数,a≠0),顶点坐标是(h,k). (3)交点式:y=a(x–x1)(x–x2),其中x1,x2是二次函数与x轴的交点的横坐标,a≠0. 三、二次函数的图象及性质 1.二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 对称轴 x=– 顶点 (–,) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时,y最小值= 当x=–时,y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时,y随x的增大而减小;当x>–时,y随x的增大而增大 当x<–时,y随x的增大而增大;当x>–时,y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a,b,c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 四、抛物线的平移 1.将抛物线解析式化成顶点式y=a(x–h) 2+k,顶点坐标为(h,k). 2.保持y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下: 3.注意 二次函数平移遵循“上加下减,左加右减”的原则,据此,可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式;二次函数图象的平移可看作顶点间的平移,可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式. 五、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). 2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 3.(1)b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根,抛物线与x轴有两个交点; (2)b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴有且只有一个交点; (3)b2–4ac<0⇔方程没有实数根,抛物线与x轴没有交点. 六、二次函数的综合 1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题,一般先假设该点存在,根据该点所在的直线或抛物线的表达式,设出该点的坐标;然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等;最后结合题干中其他条件列出等式,求出该点的坐标,然后判别该点坐标是否符合题意,若符合题意,则该点存在,否则该点不存在. 2、函数动点问题 (1)函数压轴题主要分为两大类:一是动点函数图象问题;二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题. (2)解答动点函数图象问题,要把问题拆分,分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式,进而确定函数图象;解答二次函数综合题,要把大题拆分,做到大题小做,逐步分析求解,最后汇总成最终答案. (3)解决二次函数动点问题,首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动,运动速度是多少,结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度,最后结合题干中与动点有关的条件进行计算. 重要问题解题思维方法总结 一、对二次函数的有关概念的深刻把握 1.二次函数的一般形式的结构特征:①函数的关系式是整式;②自变量的最高次数是2;③二次项系数不等于零. 2.一般式,顶点式,交点式是二次函数常见的表达式,它们之间可以互相转化. 3.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线,叫做抛物线,该直线叫做抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 二、对二次函数的图象关键点的说明 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线,叫做抛物线,该直线叫做抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 三、二次函数的性质 二次函数的解析式中,a决定抛物线的形状和开口方向,h、k仅决定抛物线的位置.若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同,则它们的二次项系数a必相等. 四、二次函数的平移 1.抛物线在平