考点08 一次函数—2022年中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点08 一次函数 课标对考点的要求 对一次函数问题,中考命题需要满足下列要求: (1)结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式(参见例58)。 (2)会利用待定系数法确定一次函数的表达式。 (3)能画出一次函数的图像,根据一次函数的图像和表达式 y =kx +b (k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图像的变化情况。 (4)理解正比例函数。 (5)体会一次函数与二元一次方程的关系。 (6)能用一次函数解决简单实际问题。 重要考点解读 一、正比例函数的概念 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做正比例系数. 二、一次函数 1.一次函数的定义 一般地,形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地,当一次函数y=kx+b中的b=0时,y=kx(k是常数,k≠0).这时, y叫做x的正比例函数. 2.一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b,其中k,b为常数,k≠0. 一次函数的一般形式的结构特征:(1)k≠0,(2)x的次数是1;(3)常数b可以为任意实数. 注意:(1)正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数. (2)一般情况下,一次函数的自变量的取值范围是全体实数. (3)判断一个函数是不是一次函数,就是判断它是否能化成y=kx+b(k≠0)的形式. 三、一次函数的图象及性质 1.正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线. k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 2.一次函数的图象特征与性质 (1)一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,b)和(-,0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到;b>0,向上平移b个单位长度;b<0,向下平移|b|个单位长度 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线,由两点确定一条直线可知画一次函数图象时,只要取两点即可 (2)一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0,b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0,b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0,b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0,b<0 二、三、四 3.k,b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系 在直线y=kx+b(k≠0)中,令y=0,则x=- ,即直线y=kx+b与x轴交于(–,0). ①当–>0时,即k,b异号时,直线与x轴交于正半轴. ②当–=0,即b=0时,直线经过原点. ③当–<0,即k,b同号时,直线与x轴交于负半轴. 4.两直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系: ①当k1=k2,b1≠b2,两直线平行; ②当k1=k2,b1=b2,两直线重合; ③当k1≠k2,b1=b2,两直线交于y轴上一点; ④当k1·k2=–1时,两直线垂直. 四、一次函数与正比例函数的区别与联系 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b(k是常数,且k≠0) y=kx+b(k,b是常数,且k≠0) 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k,b符号的作用 k的符号决定其增减性,同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性;b的符号决定直线与y轴的交点位置;k,b的符号共同决定直线经过的象限 求解析式的条件 只需要一对x,y的对应值或一个点的坐标 需要两对x,y的对应值或两个点的坐标 联系 比例函数是特殊的一次函数. ②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样,都是过两点画直线,但画一次函数的图象需取两个不同的点,而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可. ③一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作是正比例函数y=kx(k≠0)的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.由此可知直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与直线y=kx(k≠0)平行. ④一次函数与正比例函数有着共同的性质: a.当k>0时,y的值随x值的增大而增大;b.当k<0时,y的值随x值的增大而减小. 五、一次函数与方程(组)、不等式、图形面积 1.一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k,b为常数,且k≠0)的形式. 从函数的角度来看,解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0;从函数图象的角度考虑,解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标. 2.一次函数与一元一次不等式 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b