第三章 数学建模活动（二）（讲义+典型例题）-2021-2022学年高一下学期数学 北师大版（2019）必修第二册

第三章数学建模活动（二）（讲义+例题） 建筑物高度的测量 一、基础知识 数学建模活动的主要步骤如下： 教师小结： 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容. 二、实例探究 （一）问题情境和任务 选择适用的方法，测量下面3个物体的高度. 1．学校内的旗杆； 2．学校内的一座教学楼； 3．学校外一座看得见，但底部不可到达的建筑物. （二）实践流程建议 1．成立测量小组. 2．学习研讨，完成下列工作。 （1）选定测量目标和测量方法（注意控制测量误差、计算误差）； （2）制订测量方案，写出计划书，最好选用两套方案测量同一个物体；（3）准备相应的测量工具（需要时也可以自制一些简单的测量工具）； （4）明确小组成员的任务分工. 3．实施现场测量，记录测量数据. 4．完成计算和报告，填写“测量工作报告表”. 5．成果交流. 交流时，关注测量过程和创新点，以实物、照片、幻灯片等形式展示. 测量工作报告表 1.本课题组的成员与分工 成员姓名 分工 主要工作与贡献 A 测长度 … B 测角度 … C 数据记录 … 2.本课题组选择的测量对象、所需工具 旗杆、教学楼… 3.测量的数学模型 矩形、三角形… 4.测量的数据和计算结果 长度、角度… 5.测量中的亮点和问题点（如独到的想法，减少测量误差的想法和做法，团结协作克服的困难，结果产生较大误差的原因分析等.如有说明问题的照片或图片可以附在后边） 6.与本次测量相关的可继续研究的小课题或待探究的问题（课题的拓广） 如何测不可达两点间的距离？… 7.用简单的语言，描述同学在完成此项工作中的感受 三、课后作业 根据制定的测量方案，完成实际测量活动. 例1：（1）．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（       ） A．150 m B．150 m C．150 m D．50 m 【答案】A 【解析】 【分析】 根据C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝100 m，可求出AC，正弦定理求出AM，在三角形MAN中即可解出山高. 【详解】 由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，三角形ABC为直角三角形，可得， 在中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°， 由正弦定理有：，即， 故， 在直角三角形中，， 可得（m） 故选：A （2）．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（       ） A．7350 B．2650 C．3650 D．4650 【答案】B 【解析】 【分析】 如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，在中，利用正弦定理求得，在中，解直角三角形即可的解. 【详解】 解：如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点， 则，所以， 在中，， 由正弦定理得， 则， 因为， 所以， 所以山顶的海拔高度大约为. 故选：B. （3）．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知，） 【答案】 【解析】 【分析】 设需要至少布置门高炮，则，由此能求出结果． 【详解】 解：设需要至少布置门高炮， 某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2， 要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中， ， 解得，， 需要至少布置11门高炮． 故答案为：． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 举一反三 1．圣索菲亚大教堂，位于土耳其伊斯坦布尔，有着近一千五百年的历史，因巨大的圆顶而闻名于世，是一幢拜占庭式建筑.圣索菲亚大教堂主体建筑集中了数学的几何图形之美，使世界各地的游客前往参观.现在游客想估算它的高度CD，借助于旁边高为24米的一幢建筑房屋AB作为参考点，在大教堂与建筑房屋的底部水平