考点01 有理数—2022年中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点01 有理数 课标对考点的要求 对有理数问题,中考命题需要满足下列要求: (1)理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小。 (2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数与绝对值的方法,知道|a|的含义(这里a表示有理数)。 (3)理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。 (4)理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算。 (5)能运用有理数的运算解决简单的问题。 对考点的解读 一、有理数的概念 1.有理数的概念:整数和分数统称有理数 ⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数 理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。 2.有理数大小的比较 (1)正数的绝对值越大,这个数越大; (2)正数永远比0大,负数永远比0小; (3)正数大于一切负数; (4)两个负数比大小,绝对值大的反而小; (5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; (6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 二、有理数的运算 1.有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a ; (2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b). 3.有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零; (3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定. 4.有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc); (3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac . 5.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数, . 6.有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数; (2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数; 注意:当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . 7.有理数混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减. 三、数轴、相反数、绝对值和倒数的概念 1.数轴:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应。 2.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0。 (2)相反数的和为0 ( a+b=0 ( a、b互为相反数. 3.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离。 (2) 绝对值可表示为: 或 ;绝对值的问题经常分类讨论。 4.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠0,那么 的倒数是 。 若ab=1( a、b互为倒数;若ab=-1( a、b互为负倒数. 四、乘方 1.乘方的定义:求相同因式积的运算,叫做乘方; 2.乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂。 重要问题解题思维方法总结 【方法总结1】根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下,把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正,把它们的相反意义规定为负 【方法总结2】0既不是正数也不是负数,0的相反数是它本身.0不仅能表示没有,而且表示正、负之间的分界值. 【方法总结3】 一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 【方法总结4】比较有理数大小的方法. 方法①:数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大. 方法②:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小. 常用方法:数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。 【方法总结5】有理数的混合运算规则 (1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行; (3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 中考典例解析 【例题1】(2021·山东济宁)若盈余2万元记作 万元,则 万元表示( ) A.盈余2万元 B.亏损2万元 C.亏损 万元 D.不盈余也不亏损 【例题2】(2021·湖北襄阳)下列各数中最大的是( ) A. B. C.0 D.1 【例题3】(2021·湖南)-2021的相反数是( ) A.2021 B.-2021 C. D. 【例题4】(2021·青海)若 ,则实数 在数轴上对应的点的位置是( ). A.